Лекция 14. Начальные и граничные условия

Задания для самостоятельной работы

Лекция 13. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА, ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ И НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

, (13.1)

которое можно также записать в виде

, (13.1*)

и уравнение

, (13.2)

которое можно также записать в виде

, (13.2*)

где u – искомая функция х и у; A, B, C, E, D, K – коэффициенты, которые могут быть как функциями х и у, так и постоянными величинами, некоторые из которых могут быть равные нулю.

Уравнение (13.1) или (13.1*) называется линейным, а уравнение (13.2) или (13.2*) называется квазилинейным, поскольку оно линейно только относительно старших производных, входящих в это уравнение.

Линейные уравнения в частных производных классифицируются на три типа:

- линейные уравнения гиперболического типа (ГТ);

- линейные уравнения параболического типа (ПТ);

- линейные уравнения эллиптического типа (ЭТ).

Для того, чтобы классифицировать уравнения в частных производных необходимо проанализировать выражение

В ² – АС,

состоящее из коэффициентов при старших производных в уравнениях (13.1) - (13.2*).

Если В ² – АС > 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ГТ.

Если В ² – АС = 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ПТ.

Если В ² – АС < 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ЭТ.

Определим, к какому типу принадлежат волновое уравнение, уравнение теплопроводности и стационарные уравнения, например, уравнение Лапласа.

1. Запишем волновое уравнение, описывающее свободные колебания струны

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

А = - а ²; В = 0; С = 1,

вычислив выражение

В ² – АС = 0² – (- а ²)×1 = а ² > 0,

убедимся в том, что все волновые уравнения принадлежат к уравнениям ГТ.

2. Запишем уравнение теплопроводности, описывающее распределение нестационарного температурного поля в тонком стержне без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

А = - а ²; В = 0; С = 0,

вычислив выражение

В ² – АС = 0² – (- а ²)×0 =0,

убедимся в том, что все уравнения, описывающие тепловые и диффузионные процессы, принадлежат к уравнениям ПТ.

3. Запишем стационарное уравнение Лапласа, описывающее распределение нестационарного температурного поля в мембране без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

А = 1; В = 0; С = 1,

вычислив выражение

В ² – АС = 0² – 1×1 =-1< 0,

убедимся в том, что все стационарные уравнения принадлежат к уравнениям ЭТ.

Рассмотрим уравнение (13.1*) для того, чтобы проинтегрировать это уравнение необходимо по возможности привести его наиболее простому виду, то есть привести его к канонической форме.

Переход к канонической форме можно осуществить с помощью общих интегралов обыкновенного дифференциального уравнения второй степени

, (13.3)

которое называется уравнением характеристик для уравнения (13.1*), а его интегралы характеристическими кривыми, или характеристиками.

Уравнение (13.3) можно, поделив на (dx)², привести к виду

. (13.3*)

Это уравнение представляет собой уравнение первого порядка, второй степени, которое можно легко разрешить относительно производной

Полученное уравнение распадается на два уравнения

. (13.4)

Решая эти уравнения, найдем два интеграла, т.е. два семейства характеристик:

Используя эти интегралы, введем новые независимые переменные

. (13.5)

Вычислим все производные, входящие в уравнение (13.1*):

(13.6)

Подставляя вычисленные производные в уравнение (13.1*), получим его каноническую форму.

I. Для уравнений гиперболического типа уравнение характеристик имеет вид (13.3*), которое распадается на уравнения (13.4). С помощью их интегралов, произведя замену переменных (13.5) и, вычислив производные (13.6), после подстановки их в исходное уравнение, получим каноническую форму уравнения гиперболического типа

(13.7)

II. Для уравнений параболического типа уравнения характеристик принимает вид одного уравнения

которое имеет только одно семейство характеристик:

В этом случае для того, чтобы произвести замену переменных (13.5), необходимо в качестве недостающего второго интеграла C ₂ выбрать некоторую произвольную функцию , такую, чтобы она была линейно независимая с функцией , т.е. для интегралов C ₁ и C ₂ должно выполнятся

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение параболического типа получим его каноническую форму

. (13.8)

III. Для уравнений эллиптического типа уравнения характеристик принимает вид (13.3*) и оно распадается на два уравнения в комплексной форме:

следовательно, уравнения (13) имеют два комплексно-сопряженных интеграла

причем функции являются действительными функциями своих аргументов и с их помощью вводим новые переменные, причем

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение эллиптического типа получим его каноническую форму

. (13.9)

Пример 13.1. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.1.1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13. 1.2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.1. 2) и в исходном (П13.1. 1):

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение:

следовательно, исходное уравнение (П13.1.1) принадлежит к уравнениям гиперболического типа.

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Следовательно, С ₁ и С ₂ определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид

Найдем в новых переменных

.Таким образом, исходное уравнение (П13.1. 1) в новых переменных имеет вид:

и после преобразований, получим

с учетом того, что каноническая форма исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 13.2. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.2. 1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13.2.. 2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.2. 2) и в исходном (П13.2.. 1):

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение (П13.2.1)

следовательно, исходное уравнение (П13.2. 1) принадлежит к уравнениям параболического типа.

Произведем замену переменных и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение (П13.2. 1) и после преобразований, получим

так как .

Таким образом, окончательно каноническая форма исходного уравнения (П13.2. 1) имеет вид:

.▲

Пример 13.3. Привести к каноническому виду уравнение:

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в уравнении и в исходном:

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение

следовательно, исходное уравнение принадлежит к уравнениям эллиптического типа.

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

или

.▲

Пример 13.4. Найти решение уравнения

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

или .

Это степенное уравнение первого порядка распадается на два уравнения

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований

окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

.▲

Приведение исходного уравнения к канонической форме в ряде случаев позволяет достаточно легко найти общее решение исходного уравнения. Поскольку в данном методе используется уравнение характеристик (13.3), то данным метод нахождения общего решения называется методом характеристик. Рассмотрим примеры нахождения решения уравнений методом характеристик.

Пример 13.5. Найти общее решение уравнения:

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в этом уравнении и в исходном:

Найдем в новых переменных

Подставим полученные производные в исходное уравнение, и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

или

Интегрируя дважды это уравнение, получим решение

Возвращаясь к «старым» переменным х и у, запишем окончательно общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.6. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

Заменой переменных

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения

или

(П13.6.1)

Сделаем замену

, (П13.6.2)

тогда уравнение (П13.6.1) принимает вид

Это однородное линейное уравнение, которое к тому же является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные, найдем

Подставив найденную функцию в (П13.6.2) и проинтегрировав полученное выражение, окончательно получим решение уравнения (П13.6.1)

Обозначив , получим

и, возвращаясь к «старым» переменным получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.7. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

Заменой переменных

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

если а ≠ 0, то окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.7.1)

Уравнение (П13.7.1) означает, что функция u (ξ, η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f (ξ + ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲

Пример 13.8. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

Заменой переменных

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.8.1)

Уравнение (П13.8.1) означает, что функция u (ξ, η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f (ξ + ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲