Уравнение колебаний стержня

Рассмотрим задачу об определении малых продольных колебаний упругого прямолинейного однородного стержня длиной l при t >0, считая, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня.

Рассмотрим рисунок, на котором изображен такой стержень.

Рис.12.1

Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня и пусть х – координата сечения pq, когда оно находится в покое. Поскольку мы изучаем малые продольные колебания стержня, то это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим через u(x,t) смещение этого сечения в момент t. В рамках нашего предположения о том, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня, смещения в точке х+∆х будет

Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно u_x (x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно

где S – площадь поперечного сечения, Е – модуль упругости материала стержня.

Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок pq,p ₁ q ₁. Равнодействующая сила равна

Пусть p (x,t) – объемная плотность внешних сил. Тогда на участок pq,p ₁ q ₁ действует внешняя сила S p (x,t)∆ x и сила инерции . Сумма всех сил по принципу Даламбера равна нулю, т.е.