double arrow

Уравнение колебаний стержня


Рассмотрим задачу об определении малых продольных колебаний упругого прямолинейного однородного стержня длиной l при t >0, считая, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня.

Рассмотрим рисунок, на котором изображен такой стержень.

 
 


Рис.12.1

Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня и пусть х – координата сечения pq, когда оно находится в покое. Поскольку мы изучаем малые продольные колебания стержня, то это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим через u(x,t) смещение этого сечения в момент t. В рамках нашего предположения о том, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня, смещения в точке х+∆х будет

.

Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно ux(x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно

,

где S – площадь поперечного сечения, Е – модуль упругости материала стержня.

Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок pq,p1q1. Равнодействующая сила равна




.

Пусть p(x,t) – объемная плотность внешних сил. Тогда на участок pq,p1q1 действует внешняя сила S p(x,t)∆x и сила инерции . Сумма всех сил по принципу Даламбера равна нулю, т.е.

. (12.6)

Отсюда находим

, (12.7)

кроме того, функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям

,

где - заданные функции. Если (стержень однородный), то уравнение (12.7) принимает вид

, (12.8)

где .

Таким образом, мы видим, что волновое уравнение (12.8) также описывает и малые продольные колебания стержня.







Сейчас читают про: