double arrow

Решение задачи Коши методом Даламбера


Лекция 15. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны, т.е. найдем решение уравнения

, (15.1)

удовлетворяющее начальным условиям

. (15.2)

Эту задачу (15.1), (15.2) можно решить методом Даламбера.

Осуществим переход к канонической форме уравнения (15.1) с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Следовательно, С1 и С2 определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид

.

Вычислим в новых переменных:

и подставим их в уравнение (15.1)

.

После сокращений получим

. (15.3)

Интегрирование этого уравнения дает

Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь

. (15.4)

Функция является решением уравнения (15.1), если и1 и и2 - произвольные дважды дифференцируемые функции. В решении (15.4) необходимо выбрать функции и1 и и2 так, чтобы удовлетворить начальным условиям (15.2)

(15.5)

и

(15.6)

Проинтегрировав уравнение (15.6) в пределах от х0 до х, получим

. (15.7)

Разрешив совместно уравнения (15.5) и (15.7) относительно и1(х) и и2(х), получим




(15.8)

(15.9)

Подставив (15.8) и (15.9) в решение (15.4) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения

. (15.10)

Формула (15.10) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны. Эта формула дает классическое решение задачи (15.1) - (15.2) только в предположении, что функция имеет производные до второго порядка включительно, а функция - до первого.

Решение задачи Коши неоднородного волнового уравнения, описывающего вынужденные колебания однородной струны

, (15.11)

удовлетворяющего начальным условиям

, (15.12)

можно получить по формуле

(15.13)

Это формула Даламбера, дающая решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения, описывающего вынужденные колебания однородной струны.

Пример 15.1. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

? Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (15.10)

,

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

?

Пример 15.2. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

? Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (15.10)

,

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

?

Пример 15.3. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

? Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (15.13)

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

?







Сейчас читают про: