Уравнение теплопроводности и диффузии

Уравнение теплопроводности было получено при решении задачи о распространении тепла в неком стержне с плотностью r (x), удельной теплоемкостью с (x) и коэффициентом внутренней теплопроводности k. Вывод этого уравнения базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ∆ t через малую площадку ∆ S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

, (12.9)

где n – нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, k (x,u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u (x,t) – температура тела в точке в момент времени t.

Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда k (x,u) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура u (x,t), выделим внутри тела объем W, ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающего в W через поверхность S за промежуток времени [ t ₁, t ₂], равно

.

Если F (x,t) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в W за указанный промежуток времени равно

.

Общее количество притекшего в W за время от t ₁ до t ₂ тепла можно подсчитать также и через приращение температуры:

,

следовательно, можно записать

, (12.10)

(при этом предполагается, что подинтегральная функция непрерывна). В силу произвольности W и промежутка времени [ t ₁, t ₂] из выражения (12.10) вытекает равенство

, (12.11)

т.к. , где ∆ - оператор Лапласа, то уравнение (12.11) можно записать в виде

, (12.12)

где .

Уравнение (12.11) или (12.12) называются уравнением теплопроводности. Для одномерного случая при f (x,t) = 0 оно имеет вид

. (12.13)

Вывод уравнения диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область с границей Г, если задана плотность источников F(x,t) (диффузия происходит с поглощением, например, частицы диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом среды), причем скорость поглощения в каждой точке пространства пропорциональна плотности диффундирующего вещества, основывается на законе Нэрнста, согласно которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени через малую площадку , равно

,

где D(x) – коэффициент диффузии, n – нормаль к элементу , направленная в сторону перемещения вещества. Пусть - коэффициент плотности среды.

Выделим некоторый объем с границей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в за промежуток времени .

Количество вещества, пришедшего в через границу S, согласно закону Нэрнста равно

.

Количество вещества, образовавшегося в за счет источников, равно

.

Количество вещества в уменьшилось на величину

за счет поглощения среды (q(x) – коэффициент поглощения). Поскольку приращение количества вещества в за промежуток равно также

,

то

.

В силу произвольности объема и промежутка из полученного равенства вытекает

. (12.14)

Это и есть классическое уравнение диффузии.