Разложение полинома на множители

Теорема Безу. Схема Горнера

Определение 1.2.1. Полиномом степени n называется сумма

,

где — комплексные числа, ,

— степень полинома .

Если , то полином называется приведенным.

Определение 1.2.2. Два полинома

,

называются равными, если для любого справедливы равенства

.

Теорема 1.2.1. Для любых двух полиномов и , , существуют такие однозначно определяемые полиномы и , что

, (1.2.1)

причем , либо .

Доказательство. Пусть

, ,

,, .

Построим вспомогательный полином

. (1.2.2)

, .

Если , то строим следующий полином

, (1.2.3)

, причем .

Если , то находим другой полином

, (1.2.4)

и т. д.

По построению , что

, (1.2.5)

.

Складывая (1.2.2) + (1.2.3) + (1.2.4) +…+ (1.2.5), получаем слева полином

,

а справа —

.

После сокращений

,

поэтому, если

, ,

то получаем равенство (1.2.1).

Докажем теперь, что полиномы и определяются однозначно. Предположим, что

и : ,

(или ).

Тогда

.

,

Определение 1.2.3. Полином называется частным, а — остатком от деления полинома на полином .

Определение 1.2.4. Если , то говорят, что полином делится нацело на полином (обозначение ), а сам полином при этом называется делителем полинома .

Теорема 1.2.2 (теорема Безу). Полином является делителем полинома тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Если

Достаточность. Пусть . Из формулы (1.2.1) имеем соотношение

,

причем .

Следовательно, , тогда , отсюда .

Следствие 1.2.1. Остаток от деления полинома на полином равен .

Доказательство.

,

где . Подставляя ,получаем , что и требовалось доказать.

Возьмем произвольно полином . Пусть , где . Ясно, что .

Для определения остатка r и коэффициентов имеем очевидное соотношение

.

Сравнивая коэффициенты полиномов при одинаковых степенях x, имеем

,

поэтому окончательно получаем

. (1.2.6)

Формулы (1.2.6) носят название схемы Горнера.

Определение 1.2.5. Корнем полинома называется число c, такое что .

Пусть — корень полинома . Тогда

.

Если , то .

k: , .

Определение 1.2.6. Указанное число k называется кратностью корня полинома . Если , то соответствующий корень называется простым, а при — кратным.

Определение 1.3.1. Алгебраическим уравнением n-й степени одной переменной x называется уравнение вида

,

где , , — комплексные числа.

Теорема 1.3.1 (основная теорема высшей алгебры). Любое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень (вещественный или комплексный).

Доказательство теоремы приведено, например, в учебнике А.Г.Куроша «Курс высшей алгебры».

Теорема 1.3.2. Любой полином , , с любыми числовыми коэффициентами имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность.

Доказательство. Пусть является корнем полинома .

,

где — полином степени n – 1.

Если , то имеет хотя бы один корень, например, .

.

Продолжая подобные рассуждения, получаем,

.

Все числа , , являются корнями полинома , так как для любого справедливо равенство.

Докажем теперь, что разложение полинома на множители определяется однозначно с точностью до порядка сомножителей. Доказательство этого факта проведем от противного.

Пусть существует другое разложение полинома на множители, т. е. . Допустим, что среди корней , , существует такой корень , что для любого . Подставляя в очевидное равенство

Таким образом, для любого существует такое , что . Однако, из этого еще не следует, что разложение полинома на множители определяется однозначно, так как корни для различных могут совпадать.

Допустим, что среди корней существует ровно , равных , в то время как среди корней имеется только , равных .

Предположим, что . Приравнивая различные разложения полинома , получаем равенство , причем , .

Сокращая обе части этого соотношения на общий множитель , получаем . Заметим, что при подстановке в последнее равенство левая часть обращается в нуль, в то время как правая отлична от нуля. Отсюда следует, что .

Если объединить сомножители, отвечающие совпадающим корням, то полином

,

где , а — различные корни полинома .

Таким образом, полином степени n не может иметь более чем n корней.

Теорема 1.3.3. Если полиномы , и , имеют совпадающие значения в более чем различных точках, то

=.

Доказательство. Рассмотрим полином . Очевидно, что . Но по условию теоремы полином обращается в нуль в более чем различных точках. Однако у этого полинома не может быть корней больше чем . Поэтому , т. е. .