ПРИМЕРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим некоторые алгебраические системы, наиболее часто встречающиеся в математике и прикладных областях.
Рассмотрение некоторых систем начнем с группы подстановок, общее описание которых дано в (3.4). Групповая операция задается внутренним законом композиции - композицией подстановок.
Нейтральным элементом в группе подстановок является тождественная подстановка е, а симметричным элементом для любой подстановки а — симметричная подстановка а-1. Так как композиция подстановок не подчиняется коммутативному закону, то группа подстановок п-й степени при п >3 не коммутативна.
Если множество N конечно и содержит п чисел, то множество S всех подстановок п -й степени также конечно и содержит п! элементов. Такая группа называется симметрической группой порядка п! (порядок группы определяется числом ее элементов).
Полгруппы симметрических групп называют группами подстановок. К ним относятся единичная группа, содержащая только нейтральный элемент (тождественную подстановку), и сама симметрическая группа. Однако, кроме этих тривиальных групп, имеется много подгрупп симметрической группы, являющихся группами подстановок. В частности, группу образует множество всех четных подстановок (знакопеременная группа). Множество всех подстановок переводящих какой-либо элемент в себя, также является группой.
|
|
Подгруппами симметрических групп исчерпываются по существу все конечные группы. Имеет место следующая теорема.
теорема Кэли. всякая конечная группа порядка п изоморфна некоторой группе подстановок п -й степени ее элементов.
Доказательство. Пусть множество с определенным на нем законом композиции ┬ образует группу и - фиксированный элемент из G. Определим отображение, ставящее каждому элементу из G элемент , следующим образом:
┬ , i = 1, 2,....... п.
Это отображение взаимно-однозначно, так как при любом соотношение ┬ имеет единственное решение ┬ , т.к. каждый элемент группы имеет единственный симметричный ему . Таким образом, взаимно-однозначное отображение на множестве G можно представить подстановкой п объектов , которая соответствует элементу , т. е.
В этой подстановке нижняя перестановка - это строка матрицы композиции для элемента . Принимая k = 1, 2,..., n, получаем п подстановок, соответствующих п элементам группы G. Нейтральному элементу отвечает тождественная подстановка е, симметричному элементу - симметричная подстановка .
Так как групповая операция ┬ по определению ассоциативна, то
┬ ┬ = ┬ (┬) = .
С другой стороны,
┬ ┬ = (┬ ) ┬ = ┬ = .
|
|
Отсюда , т. е. элементу ┬ соответствует композиция отображения и , а значит, и композиция соответствующих им подстановок. Таким образом, множество подстановок образует группу порядка п, которая однозначно представляет группу G.
Например, группе третьего порядка с групповой операцией, заданной таблицей
соответствует группа подстановок , где
; ; .
Нейтральным элементом этой группы относительно определенного закона композиции является , а подстановки и - взаимно симметричные элементы (проверить самостоятельно). Если элементы исходной группы пронумеровать и заменить соответствующими им числами, то
; ; .
Эта группа подстановок является подгруппой симметрической группы, которая, кроме указанных подстановок содержит подстановки
; ; .
каждая из которых обратна самой себе. Ясно, что при большом п для представления конечной группы п- го порядка используется лишь ничтожная часть перестановок симметрической группы.