Комплексное число ,где - действительная часть и - мнимая часть, можно рассматривать как упорядоченную пару
(а, b) двух действительных чисел, которые являются элементами множества R.
На множестве комплексных чисел определяются два внутренних закона - сложение и умножение:
; .
Два числа z 1 и z 2 равны, если a 1 = a 2 и b 1 = b 2.
В принятых обозначениях i = (0,1), следовательно, i 2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) или i 2 = -1. Действия над комплексными числами в форме можно выполнять как с действительными числами, заменяя всякий раз i 2 на -1.
Числом, комплексно-сопряженным с числом г = а + bi, является число . Справедливы следующие соотношения:
.
Множество комплексных чисел составляет коммутативную группу относительно сложения. Действительно, сложение коммутативно и ассоциативно, нейтральным элементом служит нуль (0, 0), а симметричное числу есть .
Относительно умножения нейтральным элементом является единица (1, 0), и всякое отличное от нуля комплексное число имеет симметричное (обратное)
,
где - модуль комплексного числа. Т.к. умножение дистрибутивно относительно сложения, то множество комплексных чисел составляет поле.
Указанное представление называется представлением комплексного числа в алгебраической форме. Комплексное число представляется также в тригонометрической и экспоненциальной форме:
Здесь - модуль и j - аргумент комплексного числа, определяемый с точностью до целого кратного 2π, причем .
Указанное представление удобно для вычисления произведения двух комплексных чисел:
.
Таким образом, и .
Геометрически представление комплексных чисел представлено на рис. 7.1а. Суммированию комплексных чисел соответствует геометрическое сложение векторов на комплексной плоскости (рис. 7.1б). Отсюда, в частности, следует (правило треугольника).
а) | б) |
Рис. 7.1. Геометрическое представление комплексных чисел |