Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.
Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрицательной действительной функции r(х,у), определенной для любых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:
1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),
3) r(х, г) ≤ r(х, у) + r (у, г) (аксиома треугольника).
Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, ρ), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:
|
|
R = (X, ρ).
В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.
Приведем примеры метрических пространств. Некоторыеизэтих пространств играют в анализе весьма важную роль.
1. Положив для элементов произвольного множества
мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.
2. Множество действительных чисел с расстоянием
ρ(х, у) = | х - у |
образует метрическое пространство R 1.
3. Множество упорядоченных наборов из п действительных чисел с расстоянием
называется п -мерным арифметическим евклидовым пространством R n.
4. Рассмотрим то же самое множество наборов из п действительных чисел , но расстояние определим в нем формулой
Справедливость аксиом 1)-3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n 1.
5. Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой
Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. Это пространство, которое мы обозначим R n ¥ во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n.
Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.
6. Множество С [a, b] всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [a, b] с расстоянием
также образует метрическое пространство. Аксиомы1)-3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С [a, b], что и само множество точек этого пространства.
|
|
7. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке С [a, b], но расстояние определим иначе, а именно, положим
Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 [a, b] и называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.