Евклидово пространство

Нормированное пространство.

Метрическое пространство.

Пусть M – некоторое множество и любым двум его элементам x, y M ставится в соответствии неотрицательное число R₊, причем выполняются условия:

1. x=y;

2. (симметрия);

3..

В таком случае пара называется метрическим пространством, отображение – метрикой (расстоянием), а M – множеством, на котором задана метрика.

Пример 2.1: Пусть, M – произвольное множество. Докажем, что – метрическое пространство.

Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.

1) из определения функции x=y;

x=y из определения функции.

2) =.

3) Проверим выполнение условия

.

Рассмотрим несколько вариантов расположения x, y и z.

a) x = y=z, тогда,, выполняется.

b) x = y z, тогда,, выполняется.

c) y=z x, тогда,, выполняется.

d) x = z y, тогда,, выполняется.

e) x y z, тогда,, выполняется.

Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.

Пример 2.2: Пусть, M= R. Докажем, что – метрическое пространство

Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.

1. (x,y) = 0, | x–y |=0 x–y =0 x=y;

x=yx–y =0 | x–y |=0 (x,y)=0.

2. (x,y) = | x–y | (y,x) = | y–x |

| y–x | =|–1(x–y)| =|–1|∙| x–y | = | x–y | | y–x | =| x–y |

(x,y) = (y,x).

3. (x,y) = | x–y |, (x,z) = | x–z |, (y,z) = | y–z |

Докажем, что ≤ +

= ≤ + = +.

Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.

При решении п.3 мы воспользовались свойством

≤ +.

Докажем его. Для этого рассмотрим 4 случая:

1. x> 0, y> 0

= x+y, так как = x, = y

2. x >0, y <0

а) > <

б) > <

<

< +

3. x <0, y <0

= =|–x–y |= + = +

4. x <0, y >0 доказывается аналогично п.2.

Задача 2.3: Докажите, что – метрическое пространство:

a),

M= R ² (;);

b),

M= R ² (;);

c),

M= R ² (;).

Множество Х называется линейным пространством, если для любой пары его элементов определены операции сложения и умножения на число.

Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу х поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое || x ||, для которого выполняются условия:

1. || x || 0, причем || x ||=0 только при x= 0;

2. || x+у || || x ||+||у||,;

3. || x ||=| |∙|| x ||, R.

Пример 3.1: Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить || x ||=| x |.

Решение. Покажем, что для || x ||=| x | выполняются условия нормы 1-3.

1) По определению.

Если | x |=; если | x |=­­ –.

А также | x |=0 x =0.

2) Если, так как | x |;

если.

3) || x ||=| x |=| |∙| x |=|=| |∙|| x| |.

Следовательно | x | является нормой, а множество вещественных чисел – нормированным пространством.

Пример 3.2: В пространстве R ⁿ с элементами можно положить в качестве нормы

1); 2); 3).

Пример 3.3: В пространстве C [ a, b ] непрерывных функций на отрезке [ a, b ] норму можно определить формулой

.

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние. Из свойств нормы 1–3 вытекает справедливость аксиом метрического пространства.

Линейное пространство Е называется евклидовым, если любым двум элементам f,g поставлено в соответствие число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (f,g)(или f∙g), для которого выполняются условия:

1. коммутативность: (f,g)= (g, f);

2. линейность: (α f+βg, h)= α(f, h)+ β (g, h), R;

3. (f,f);

4. если (f,f)=0, то f =0.

Пример 4.1: Множество действительных чисел R является пространством со скалярным произведением (евклидовым пространством), если под скалярным произведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у) = х ∙ у.

x =(,), y =(,)

x y = +

=

(x,y)=

В качестве нормы можно положить || x ||=| x |. Метрикой будет являться функция.

Пример 4.2: В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве Rⁿ в качествескалярного произведения (х,у) векторов и можно взять:

(х,у) =.

В качестве нормы можно положить. Метрикой будет являться функция.

5. Действительные (вещественные) числа

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел (вещественных чисел) и обозначается R. Подмножества множества действительных чисел называются числовыми множествами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции.

1. Операция сложения.

Для любой пары чисел R определено единственное число, называемое суммой и обозначаемое a+b, так что при этом выполняются следующие условия:

1.1. a+b = b + a.

1.2. (a+b)+c = a+(b+c).

1.3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что a+ 0= a.

1.4. Для любого числа a существует число, называемое ему противоположным и обозначаемое – a, для которого a +(– a)=0.

Число a+(–b) называется разностью чисел a и b обозначается a–b.

2. Операция умножения.

2.1. a∙b = b∙a.

2.2. (a∙b) ∙c = a∙ (b∙c).

2.3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что a∙ 1= a.

2.4. Для любого числа a существует число, называемое ему обратным и обозначаемое или 1/ а, для которого a ∙ =1.

Число a∙, b называется частным от деления a на b обозначается a:b или, или a/b.

3. Связь операций сложения и умножения.

(a+b)c=ac+bc, R

4. Упорядоченность (a˂b или a≤b)

4.1. a˂b, b˂c =˃ a˂c

5. Непрерывность

Если a˂b, то c a≤c≤b

Множество элементов, обладающих свойствами 1–5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.

=

(a;b)= - (интервал)

(a;b ]=

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞, –∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается.

Любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.