Евклидова плоскость и евклидово пространство

Тема 12 Функции нескольких переменных

До сих пор мы говорили о функции одной переменной , где х – независимая переменная или аргумент. В задачах естествознания часто какой то показатель, например точечная температура тела (Т), может зависеть от нескольких независимых переменных, в данном случае , где - координаты точки пространства, t – время, то есть имеем функцию четырех независимых переменных.

Объем цилиндра является функцией двух независимых переменных: R – радиуса и h – высоты цилиндра.

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Множество всех упорядоченных пар вещественных чисел называют координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат .

Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между любыми двумя точками и определяется формулой:

. (1)

Аналогично вводится понятие евклидова трехмерного и, обобщенно, n – мерного пространства. В случае 3 – мерного пространства, расстояние между любыми точками и определяется формулой:

. (2)

В случае n – мерного пространства расстояние между точками и определяется:

. (3)

Для n – мерного евклидова пространства принято обозначение .

Примером подмножества пространства является n – мерный шар радиуса R с центром в точке , который представляет собой множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству:

(4)

В двумерном случае, это – круг радиуса R:

.

С учетом равенства (3), неравенство (4), характеризующее формулу n – мерного шара, можно представить в виде:

,

что называют также R – окрестностью точки .