Характерные и случайные точки линии пересечения поверхностей

Все множество точек, определяющих линию пересечения поверхностей, в начертательной геометрии условно разделяют на две группы.

1. Характерные (или опорные). Точки, которые выделяются среди множества других своим особым положением на поверхностях и относительно плоскостей проекций. Таких точек в каждой конкретной задаче всегда конечное число.

2. Случайные (или промежуточные) – точки расположенные между характерными точками.

Характерные точки в свою очередь подразделяют на отдельные группы следующим образом:

- экстремальные – точки наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций. Они необходимы в большинстве случаях для определения границ использования выбранного посредника при построении промежуточных точек;

- очерковые – точки, определяющие границу видимости линии пересечения. Проекции этих точек лежат на соответствующих очерках поверхностей;

- особые, например, концы большой и малой осей эллипса, точки возврата и излома [1].

При построении линии пересечения поверхностей сначала определяют, если это возможно, характерные точки, а затем находят промежуточные точки, количество и плотность которых зависит от кривизны проекций линии пересечения, масштаба чертежа и требуемой точности. При прочих равных условиях их должно быть больше там, где больше кривизна проекций линии пересечения.

Для нахождения характерных точек приходится в большинстве случаях использовать разные посредники, т. е. для каждой такой точки применять особую логику построения.

Случайные точки на комплексном чертеже строят, как правило, с помощью посредника одного и того же вида и положения.

На рис. 45 приведен пример на комплексном чертеже, где построена линия пересечения конической поверхности вращения с горизонтально проецирующей плоскостью (Σ).

Результатом пересечения является гипербола, так как заданная плоскость параллельна оси и, следовательно, двум образующим конической поверхности. Проекция линии пересечения на горизонтальную плоскость Π₁ представляет собой отрезок прямой, а на фронтальную плоскость Π₂ гиперболу, так как в общем случае проекция кривой второго порядка есть соответствующая кривая второго порядка. Это положение известно из аналитической геометрии.

Точка А на линии пересечения является наиболее удаленной (экстремальной) относительно горизонтальной плоскости проекций, а точки В и С, принадлежащие окружности основания конуса, наиболее приближенные к этой плоскости проекций. Экстремальная точка А расположена в плоскости симметрии (Γ) пересекающихся геометрических фигур – конической поверхности и плоскости Σ. Для построения фронтальной проекции А₂ точки А плоскость симметрии в данном примере использована в качестве посредника. Она пересекает коническую поверхность по образующей SK, на которой находится экстремальная точка А.

Точка D является границей видимой и невидимой частей линии пересечения относительно фронтальной плоскости. Она расположена в плоскости Λ на правой очерковой образующей конической поверхности.

Рис. 45

Точка Е, симметричная точке D, построена с помощью параллели (окружности) конической поверхности.

Построение промежуточных точек 1, 2, 3 и 4 выполнено по соответствующему алгоритму с помощью вспомогательных плоскостей горизонтального уровня Φ¹ и Φ², которые пересекают коническую поверхность по окружностям (см. рис. 45).

В тех случаях, когда секущая плоскость занимает общее положение относительно плоскостей проекций, целесообразно в большинстве задач выполнить предварительно преобразование чертежа, например, способом замены плоскостей проекций так, чтобы заданная плоскость стала проецирующей. Это позволит оценить положение плоскости относительно заданной фигуры, достаточно легко определить вид сечения и экстремальные точки.