2014-02-12
1798
С постоянным резервом
Расчет надежности невосстанавливаемых систем
ЛЕКЦИЯ 11
При общем постоянном резервировании структурная схема надежности системы включает параллельно соединенные элементы.
Как отмечалось ранее, кратность резервирования 
, где n - общее число однотипных элементов; r - число элементов необходимых для функционирования системы. Значение параметра «
» может быть целым числом (если 
) или дробным числом (если 
).
Для «m» параллельно работающих элементов при r = 1 кратность резервирования 
. Следовательно, 
.
Вероятность отказа резервированной системы 
.
Для равнонадежных элементов 
вероятность отказа 
.
Снижение вероятности отказа за счет резервирования (эффективность резервирования):
.
Данная зависимость показывает, что чем меньше вероятность отказа каждого из элементов, тем выше эффективность постоянного резервирования.
Пример: 
Рассмотрим связь показателей надежности группы резервированных элементов, кратности резервирования и длительности работы элементов при экспоненциальномзаконе распределения времени их безотказной работы.
|
|
|
Если интенсивность отказов каждого из элементов равна 
, то получим:
вероятность отказа:
;
вероятность безотказной работы:
;
плотность функции распределения вероятности отказа:
.
Интенсивность отказов всей системы:
.
Анализ этой зависимости показывает:
; 
,
где 
поток отказов отдельного элемента; 
среднее время наработки до отказа отдельного элемента.
Графики зависимости параметров 
от кратности резервирования:
 Pp (t/T)
0,8
к=4
0,6
к=1
0,4
0,2 к=0
1 2 3 t/T
| λp/λ
 к=0
0,8 к=1
0,6 к=4
0,4
к=2
0,2
1 2 3 t/T
|
время работы системы.
Графики показывают, что постоянное резервирование эффективно на начальном участке работы системы, когда 
.
Для группы резервированных элементов средняя наработка до отказа:
.
Полагаем: 
.
После подстановки получим:
Из данного выражения следует, что выигрыш в средней наработке до отказа, полученный путем введения резервных элементов, снижается по мере увеличения кратности резервирования. Работа группы резервированных элементов характеризуется последовательным переходом от «
» к 
, 
элементов и далее до одного элемента; отказ последнего элемента приводит к отказу всей группы.
Работа этой группы резервированных элементов представлена на графике:
n(t)
m
m
m-1
(m-1) (m-2)
2 λ1 =mλ λ2 =(m-1)λ λ3 =(m-2)λ 2
1 T1 T2 T3 Tm
λm =λ
t1 t2 t3 tm-1 tm
В случайные моменты времени t1,t2…tm происходят отказы элементов n(t) и число работающих элементов постепенно снижается. Поскольку на каждом участке Т1,Т2…Тm совместно функционируют m, m1 m2 … элементов, то случайные интервалы времени Т1 имеют экспоненциальноераспределение с интенсивностями отказов соответственно mλ; (m-1)λ; …λ и средней продолжительностью:
|
|
|
и т.д. 
Поскольку средняя наработка до отказа группы резервированных элементов Тр = Т1+Т2+Т3+…Тm, то справедливо выражение
.
