double arrow

Декартово (прямое) произведение множеств


Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов из А и В. Таким образом, А´В={(a,b): аÎA и bÎВ}.

Обобщение на систему множеств: пусть {A1,A2,A3,…,An} конечная система множеств, тогда A1 ´ A2 ´ A3 ´ …´ An ={(a1,a2,…,an): ai Î Ai , i=1,2,…,n}. Элементы (a1,a2,…,an) называются упорядоченными «энками» или кортежами длины n. Если множества A1,A2,A3,…,An совпадают и равны A, тогда A1 ´ A2 ´ A3 ´ …´ An обозначается An , если A=ℝ Þ ℝ´ℝ´…´ℝ⇋ℝn– называется n‑мерным Евклидовым вещественным пространством, а элементы этого пространства (a1,a2,…,an) называются n‑мерными векторами или точками.

Примеры:

1) A={a, b, c}; B={0, 1} =>A´B={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)}.

2) A=[-2; 2]; B=[1; 3] => A´B={(x,y): -2 £x £ 2, 1£ y£ 3} – прямоугольник на вещественной плоскости.

3) A – круг радиуса r, B=[a, b] – отрезок. Тогда A´B – цилиндр радиуса r и высотой (ba).

4) A и B – окружности с несовпадающими центрами, тогда A´B – поверхность тора.

Множества A и B в прямом произведении А´В называют координатными осями, а элементы xÎА и yÎВпроекциями вектора z=(x,yА´В на координатные оси или координатами точки z (абсциссой и ординатой соответственно). Будем обозначать их прА z и прВ z.




Пусть множество МÌ А´В, проекцией множества М на ось А называется множество всех абсцисс векторов из М , проекцией множества М на ось В называется множество всех ординат векторов из М, т.о. прА М={ прА z: zÎМ}={xÎА: $yÎВ и (x,yМ} и прВ М={ прВ z: zÎМ}={yÎВ: $xÎА и (x,yМ}.

Для многомерного случая A1 ´ A2 ´ A3 ´ …´ An , каждое множество Ai называется i-той координатной осью. Проекция вектора z=(a1, a2,…, an) на i-тую координатную ось равна его i-той координате: прi z=ai , где i=1,2,…,n. Если МÌ A1 ´ A2 ´…´ An , то прi М={ прi z: zÎМ}. Определены также проекции вектора z и множества векторов М на несколько координатных осей с номерами i1, i2,…,ik: прi1, i2…ik z = ( ai1, ai2,…, aik) – k‑мерный вектор и прi1, i2…ik М = { прi1, i2…ik z: zÎМ } – множество k‑мерных векторов.

Пример:

Тройки вещественных чисел (а1, а2, а3) можно рассматривать как точку в трехмерном пространстве (или вектор, проведенный в эту точку из начала координат). Тогда прi (а1, а2, а3)=ai, где i=1,2,3, прi,j (а1, а2, а3)=(ai, aj), где i,j=1,2,3. См. рис.6.







Сейчас читают про: