double arrow

Соответствия между множествами


Некоторые свойства декартова произведения

1) А´В¹В´А не коммутативно, действительно, пусть А={a,b}; B={0}Þ A´B ={(a,0),(b,0)} и B´A={(0,a),(0,b)}.

2) Имеет место дистрибутивность как слева, так и справа к объединению и пересечению:
а) E´(AB) = (E´A) ∪ (E´B) и (AB) ´E = (A´E) ∪ (B´E);
б) E´(AB) = (E´A) ∩ (E´B) и (ABE = (A´E) ∩ (B´E)

3) (A \ B) ´ E = (A´E) \ (B´E)

4) Если AÌC и BÌD Þ A´B Ì C´D

5) A´B = C´D Û A=C и B=D

Если элементы множества А некоторым образом сопоставляются элементам множества В, образуя при этом упорядоченные пары связанных элементов, то говорят, что между множествами А и В установлено соответствие, а правило, по которому образуются такие пары, называют законом или графиком соответствия. Или более строго: соответствием между множествами А и В называется тройка множеств Г =(G, A, B), где G Í A´B = {(x,y): xÎA, yÎB} – график соответствия Г или закон соответствия. Множество А – называется областью отправления, а Вобластью прибытия соответствия Г.

Если (x,y) Î G, то говорят, что элемент y соответствует элементу x при Г или y является образом x относительно G, и обозначают y=G(x); а x называют прообразом y относительно G. Множество всех образов элементов xÎA называют образом множества А в множестве В и обозначают Г(А)={yÎB: $xÎA и (x,yG}. Множество всех прообразов элементов yÎB называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Г-1(В)={xÎA: $yÎB и (x,yG}.




Для всех x из прА G={xÎA: $yÎB и (x,yG } Í A говорят, что соответствие Г определено для x, и множество прА G ⇋ пр1 G называют областью определения Г. Для всех y из прВ G={yÎB: $xÎA и (x,yG} Í B, говорят, что y является значением, принимаемым соответствием Г, и множество прВ G ⇋ пр2 G называют областью значений Г.

Если пр1G = А, то соответствие называют всюду определённым.

Если соответствие всюду определено и при этом пр2G = B, то имеет смысл понятие обратного соответствия и обратного графика.

График G-1, элементами которого являются пары (y,x) такие, что (x,yG называется обратным к G, т.о. G-1 = {(y,x): (x,y) Î G}. Обратным соответствием к соответствию Г называется Г‑1 = (G‑1, B, A).

Понятно, что область определения соответствия Г совпадает с областью значений Г‑1, а область значений Г совпадает с областью определения Г‑1, поскольку пр1G-1 Í B и пр2 G-1 Í A.

Если Г-1 = Г, то соответствие называется симметричным. При этом выполняется равенство: (Г‑1)‑1 = Г.

Пример:

Пусть А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус., англ., фр.} и G={(Иван, рус.); (Иван, англ.); (Жанн, фр.); (Жанн, англ.); (Билл, англ.)}. Тогда тройка Г=(G, А, В) задает соответствие между множествами А и В с графиком G (или по закону G). Пусть Х={Иван, Билл}, тогда образом множества Х будет G(X)={рус., англ.}. Если Y={рус., фр.}, то прообразом Y будет множество G‑1(Y)={Иван, Жанн}. Данное соответствие определено для всех элементов множества А, т.е. область определения пр1G = А. Любой элемент множества В является значением соответствия Г, т.е. область значений пр2G = B. Обратным соответствием будет соответствие Г‑1 = (G‑1, B, A), где G‑1 ={(рус., Иван); (англ., Иван); (фр., Жанн); (англ., Жанн); (англ., Билл)}. Поскольку Г-1 ¹Г, соответствие не является симметричным.









Сейчас читают про: