Соответствия между множествами

Некоторые свойства декартова произведения

1) А ´ В ¹ В ´ А не коммутативно, действительно, пусть А ={ a, b }; B ={0}Þ A ´ B ={(a,0),(b,0)} и B ´ A ={(0, a),(0, b)}.

2) Имеет место дистрибутивность как слева, так и справа к объединению и пересечению:
а) E ´(A ∪ B) = (E ´ A) ∪ (E ´ B) и (A ∪ B) ´ E = (A ´ E) ∪ (B ´ E);
б) E ´(A ∩ B) = (E ´ A) ∩ (E ´ B) и (A ∩ B)´ E = (A ´ E) ∩ (B ´ E)

3) (A \ B) ´ E = (A ´ E) \ (B ´ E)

4) Если A Ì C и B Ì D Þ A ´ B Ì C ´ D

5) A ´ B = C ´ D Û A = C и B = D

Если элементы множества А некоторым образом сопоставляются элементам множества В, образуя при этом упорядоченные пары связанных элементов, то говорят, что между множествами А и В установлено соответствие, а правило, по которому образуются такие пары, называют законом или графиком соответствия. Или более строго: соответствием между множествами А и В называется тройка множеств Г =(G, A, B), где G Í A ´ B = {(x, y): x Î A, y Î B } – график соответствия Г или закон соответствия. Множество А – называется областью отправления, а В – областью прибытия соответствия Г.

Если (x, y) Î G, то говорят, что элемент y соответствует элементу x при Г или y является образом x относительно G, и обозначают y = G (x); а x называют прообразом y относительно G. Множество всех образов элементов x Î A называют образом множества А в множестве В и обозначают Г(А)={ y Î B: $ x Î A и (x, y)Î G }. Множество всех прообразов элементов y Î B называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Г^-1(В)={ x Î A: $ y Î B и (x, y)Î G }.

Для всех x из пр _А G ={ x Î A: $ y Î B и (x, y)Î G } Í A говорят, что соответствие Г определено для x, и множество пр _А G ⇋ пр₁ G называют областью определения Г. Для всех y из пр _В G ={ y Î B: $ x Î A и (x, y)Î G } Í B, говорят, что y является значением, принимаемым соответствием Г, и множество пр _В G ⇋ пр₂ G называют областью значений Г.

Если пр₁ G = А, то соответствие называют всюду определённым.

Если соответствие всюду определено и при этом пр₂ G = B, то имеет смысл понятие обратного соответствия и обратного графика.

График G ^-1, элементами которого являются пары (y, x) такие, что (x, y)Î G называется обратным к G, т.о. G ^-1 = {(y, x): (x, y) Î G }. Обратным соответствием к соответствию Г называется Г^‑1 = (G ^‑1, B, A).

Понятно, что область определения соответствия Г совпадает с областью значений Г^‑1, а область значений Г совпадает с областью определения Г^‑1, поскольку пр₁ G ^-1 Í B и пр₂ G ^-1 Í A.

Если Г^-1 = Г, то соответствие называется симметричным. При этом выполняется равенство: (Г^‑1)^‑1 = Г.

Пример:

Пусть А ={ Иван, Жанн, Билл }, В ={ рус., англ., фр. } и G ={(Иван, рус.); (Иван, англ.); (Жанн, фр.); (Жанн, англ.); (Билл, англ.)}. Тогда тройка Г=(G, А, В) задает соответствие между множествами А и В с графиком G (или по закону G). Пусть Х ={ Иван, Билл }, тогда образом множества Х будет G (X)={ рус., англ. }. Если Y={ рус., фр. }, то прообразом Y будет множество G ^‑1(Y)={ Иван, Жанн }. Данное соответствие определено для всех элементов множества А, т.е. область определения пр₁ G = А. Любой элемент множества В является значением соответствия Г, т.е. область значений пр₂ G = B. Обратным соответствием будет соответствие Г^‑1 = (G ^‑1, B, A), где G ^‑1 ={(рус., Иван); (англ., Иван); (фр., Жанн); (англ., Жанн); (англ., Билл)}. Поскольку Г^-1 ¹Г, соответствие не является симметричным.