double arrow

Отображения и функции


Композиция двух соответствий

Пусть Г=(G, А, В) и S=(R, B, C) – соответствия.

Композицией графиков R и G называется график RG={(x,z): $yÎB и (x,yG и (y,zR}. При этом область значений графика G является областью определения графика R, т.е. пр2G = пр1R. Композицией соответствий S и Г называется соответствие S∘Г=(RG, А, С).

При этом область прибытия Г является областью отправления S. Иными словами, под композицией понимают последовательное применение двух соответствий: сначала соответствия Г к элементам множества А, а затем соответствия S к значениям Г.

Свойства композиции.

Следующие свойства справедливы как для композиции графиков, так и для композиции соответствий с этими графиками. Пусть Г=(G, А, В), S=(R, B, C) и Р=(Т, D, A) – соответствия.

1) (RG)-1= G‑1R‑1

Доказательство: рассмотрим произвольную пару (z,x)Î(RG)-1. Тогда по определению обратного графика (x,zRG, и по определению композиции $yÎB и (x,yG и (y,zR. Отсюда по определению обратного графика $yÎB и (y,xG‑1 и (z,yR‑1 или, что то же самое: $yÎB и (z,yR‑1 и (y,xG‑1. Отсюда по определению композиции следует (z,xG‑1R‑1. Аналогично можно показать, что любая пара (z,x) из G‑1R‑1 принадлежит также и (RG)-1. Отсюда следует: (RG)-1= G‑1R‑1 .




2) (RG) ∘T = R∘ (GT)

Доказательство: рассмотрим произвольную пару (x,z)Î(RG) ∘T. Тогда по определению композиции $yÎA и (x,yT и (y,z)Î(RG), отсюда $yÎA и (x,yT и $tÎB и (y,tG и (t,zR . Последнее равносильно тому, что $tÎB и ($yÎA и (x,yT и (y,tG ) и (t,zR, поэтому $tÎB и (x,t)Î(GT) и (t,zR, следовательно, (x,zR∘(GT). Аналогично можно показать, что для любой пары (x,zR∘(GT) выполняется также: (x,z)Î(RG) ∘T.

3) (RG)(A) = R(G(A))

Доказательство: рассмотрим произвольный элемент zÎ(RG)(A), т.е. z является образом некоторого элемента хÎA или, что то же самое, $xÎA и z=(RG)(x) или (x,z)Î(RG). Поэтому $xÎA и $yÎB и (x,yG и (y,zR (по определению композиции). Таким образом, z=R(y) и y=G(x) и, следовательно, $xÎA и z=R(G(x)) или zÎR(G(A)). Далее для завершения доказательства все рассуждения проводим в обратном порядке.

График вида DА={(x,x): xÎA} называется диагональю А´А.

Очевидно, пр1DА=пр2DА=А. Соответствие IА=(DА, А, А) называется тождественным соответствием для А. Очевидно, IА-1=IА, и Г∘IА = IВ∘Г = Г, где IВ=(DВ, В, В) и Г=(G, A, B).

Пример:

Даны множества А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус, англ, фр} и C={0, 1, 2}. И графики G={(Иван, рус); (Иван, англ); (Жанн, фр); (Жанн, англ); (Билл, англ)} и R={(рус, 0); (англ, 1); (фр, 2)} соответствий Г=(G, А, В) и S=(R, B, C). Тогда композицией соответствий S и Г будет соответствие S∘Г=(RG, А, С) между множествами А и С с графиком RG={(Иван, 0); (Иван, 2); (Жанн, 1); (Жанн, 2); (Билл, 2)}



Соответствие f=(G, А, В) называется однозначным, если для всякого элемента xÎпр1G существует не более одного (а может быть и вовсе ни одного) значения yÎпр2G. Всюду определенное и однозначное соответствие называется функцией или отображением множества А в множество В. Если А и В числовые множества, то функция называется числовой.

Для отображений чаще используются обозначения вида: f : A®B или AB. Пару (х, у) ÎG чаще обозначают y = f(x), и поскольку отображение – это частный случай соответствия, то определены все ранее введенные понятия: образа и прообраза для элементов и множеств, области определения и области значений отображения (или функции), а также понятия композиции отображений, обратного отображения, тождественного отображения, симметричного отображения.

Отображение (функция) называется постоянным, если " х1 ¹ х2Î A следует f(x1) = f(x2). Элемент хÎA называется неподвижной точкой отображения, если f(x) = x.

Отображение f : A®B называется инъективным или взаимно-однозначным отображением множества А в В, если для " х1 ¹ х2Î A Þ f(x1) ¹ f(x2). Т.е. каждый образ имеет только один прообраз. Подчеркнем, что не все элементы множества В обязаны иметь прообраз (должны быть чьими-нибудь образами).

Отображение называется сюрьективным (или сюрьекцией или отображением множества А на множество В), если f(A) = B или " yÎB $xÎA (один или несколько) и y=f(x), т.е. все элементы множества В являются чьими-нибудь образами (имеют по крайней мере один прообраз).



Отображение называется биективным (биекцией или взаимно однозначным отображением A на B), если оно одновременно инъективно и сурьективно.

Пример:

Сos: [0; p] ® ℝ – инъективное отображение.

Сos: ℝ ® [-1; 1] – сюрьективное, но не инъективное отображение.

Сos: [- p; 0] ® [-1; 1] – биективное отображение.

Сos: ℝ ® ℝ – не сюрьективное и не инъективное отображение.

Биекция множества A на А называется подстановкой множества A. Тождественное отображение IA(x)=x, где xÎA, является частным случаем подстановки.

Утверждение: 1) Если f : A®В и g : В®С – две функции, то gf: AC – тоже является функцией.

Действительно, т.к. композиция – это последовательное применение отображений, то для произвольного элемента xÎA с помощью функции f можно получить не более одного элемента y=f(x) ÎB. В свою очередь, для элемента yÎB с помощью функции g можно получить не более одного элемента z=g(yC. Тем самым, для каждого xÎA с помощью (gf) можно получить не более одного элемента zÎC, следовательно, (gf) – функция и (gf)(x)= g(f(x)).

2) Пусть f : A®В – функция. Для того, чтобы f ‑1: В®А было функцией, необходимо и достаточно, чтобы f было биективным отображением. В этом случае f –1 называется отображением, обратным к f, или обратной функцией. При этом f ‑1 – биективно, f ‑1f =IA – тождественное отображение А и ff ‑1=IB – тождественное отображение В.

Отображение f : A®В называется обратимым слева (справа), если существует отображение fЛ‑1: В®А ( fП‑1: В®А ) такое, что f Л‑1f =IA ( ff П‑1=IB ).

Критерий обратимости слева (справа)

Для того, чтобы отображение f : A®В было обратимым слева (справа), необходимо и достаточно чтобы оно было инъективным (сюрьективным).

Примеры отображений:

1) Пусть f(x) = x2+1 и g(x) = 2–x – две числовые функции, определенные на множестве ℝ. Тогда область значений f(x) – это множество B={xÎℝ: x³1}, а g(x) – множество ℝ. Отображение f:ℝ®B – сюрьекция, а g:ℝ®ℝ – биекция. Композиция (gf )(х)=g(f (х)) = 2–( x2+1) = 1– x2; (f g)(х) =f (g(х)) =(2–x)2+1 = 5–4x+ x2. Обратное отображение g –1(х)= 2–x, т.е. g(x) – симметричная функция. И (g g-1)(х) = (g -1g )(x) = х. Отображение f(x) не имеет обратной функции, но обратимо справа, как сюрьекция. При этом fП1‑1(х)=или fП2‑1(х)=, где xÎB и имеются в виду только положительные значения корня. Для каждого из fПk‑1(х) (k=1,2) композиция (f fПk‑1)(х)=IB(x)=x.

Образ х=2 для f(x) = f(2) =5; для g(x) = g(2) = 0.

Если множество А=[-1; 2], то образ f (A) = [1; 5] и g(A) = [0; 3]

Уравнение f(x) = x не имеет корней, поэтому f(x) не имеет неподвижных точек. Неподвижной точкой g(x) является x = 1.

2) Пусть f и g: ℝ2® ℝ2 осуществляет параллельные переносы всех точек плоскости, причем f переносит каждую точку на 2 единицы вправо (на восток), а g на 2 единицы вверх (на север). Тогда f –1 переносит каждую точку плоскости на 2 единицы влево (на запад), а g‑1– на 2 единицы вниз (на юг). Композиция f g – осуществляет параллельный перенос каждой точки к северо-востоку на 2ед., аналогично gf то же самое. А (f g)-1 и (gf )-1 переносят точки к юго-западу на 2ед.. Композиции f f –1 и g g-1 оставляют каждую точку плоскости на месте. Оба отображения биективны.

3) «Подобие плоскости» – это функция f : ℝ2® ℝ2, изменяющая все длины в одно и то же число раз = r>0, где длины измеряются относительно некоторой фиксированной точки плоскости zÎℝ2, обычно это точка с координатами (0,0). Тогда при r>1 функция f задает растяжение, а при r<1 – сжатие с центром z. Эта функция взаимно-однозначна. Отображение f –1, обратное к растяжению с коэффициентом r>1, есть сжатие с коэффициентом 1/r и тем же центром.

4) Пусть A={1, 2, 3, 4} и f и g – две подстановки множества A. Запишем каждую подстановку в виде двух строк, где в первой строке перечислим элементы множества A, а во второй – соответствующие им элементы f(ai) и g(ai): и – такая запись подстановок является традиционной.

Тогда , , , и , , и, наконец, – тождественная подстановка множества A.

5) «Стереографическая проекция». Рассмотрим отображение f : A®ℝ2, где АÍℝ3 – сфера без северного полюса N, ℝ2 – плоскость, параллельная экватору и касающаяся сферы в точке S. Каждой точке х сферы (за исключением N) функция f ставит в соответствие точку плоскости у, в которой луч Nx пересекает плоскость. См. рис.7. Тогда:

а) образом произвольной параллели сферы будет окружность с центром в точке S, образ экватора – окружность вдвое большего радиуса, чем сфера;

б) образом произвольного меридиана будет прямая, проходящая через S;

в) прообраз произвольного луча из S есть полуокружность, проходящая через S и N, за исключением точки N;

г) прообразом произвольного прямолинейного отрезка на плоскости является дуга некоторой окружности, по которой плоскость, проходящая через N и отрезок, пересекает сферу.







Сейчас читают про: