Фундаментальные циклы и разрезы

Пусть Т – остов графа и К – соответствующий ему ко-лес.

Если добавить к Т любую хорду h Î К, то получим единственный цикл, который называется фундаментальным циклом относительно хорды h. Понятно, что все циклы, получаемые таким способом, т.е. путем добавления к Т различных хорд из К, попарно различны и их число равно числу хорд в К, и равно g(G). Множество всех фундаментальных циклов относительно хорд К называется фундаментальной системой циклов относительно остова Т.

На рисунке 30 (а) и (б) изображен граф и его остов, а на рисунке 30 (в) – фундаментальная система циклов относительно этого остова.

Если удалить из Т любую ветвь b, то одна из компонент Т разобьется на две новые компоненты, каждая из которых является деревом. Обозначим множества вершин новых компонент V ₁ и V ₂. Заметим теперь, что хорды из К, соединяющие вершины из V ₁ и V ₂, в совокупности с ветвью b образуют разрез графа G. Этот разрез называется фундаментальным разрезом относительно ветви b остова Т. Множество всех разрезов, полученных таким способом, т.е. удалением по отдельности каждой ветви из Т, называется фундаментальной системой разрезов относительно остова Т. Очевидно, что все разрезы в этом множестве попарно различны и их число совпадает с числом ветвей в Т и равно (в‑k).

На рисунке 31 изображены фундаментальные разрезы графа, изображенного на рис.30(а), относительно его остова на рис.30(б). Рис. 31(а) – фундаментальный разрез относительно ветви (1,5); рис. 31(б) – ф.р. относительно ветви (2,5); рис. 31(в) – ф.р. относительно ветви (3,5) и рис. 31(г) – ф.р. относительно ветви (4,5).

Важной особенностью фундаментальных циклов (разрезов) является то, что любой цикл (разрез) в графе можно представить в виде кольцевой суммы некоторых фундаментальных циклов (разрезов). В этом смысле они образуют базис подпространства всех циклов (разрезов) графа G.