double arrow

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента


Функции от случайных величин. Функция одного случайного аргумента, ее распределение и математическое ожидание. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения.

Лекция 10.

В предыдущих лекциях рассматривались некоторые законы распределения случайных величин. При решении задач часто удобно бывает представить исследуемую случайную величину как функцию других случайных величин с известными законами распределения, что помогает уста-новить и закон распределения заданной случайной величины.

Определение 10.1. Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х:Y = φ(X). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.

1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.

Пример 1. Ряд распределения для Х имеет вид: Х 5 6 7 8

р 0,1 0,2 0,3 0,4




Найдем закон распределения функции Y = 2X² - 3: Y 47 69 95 125

р 0,1 0,2 0,3 0,4

(при вычислении значений Y в формулу, задающую функцию, подставляются возможные значения Х).

2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

Пример 2. Ряд распределения для Х имеет вид: Х 0 1 2 3

р 0,1 0,2 0,3 0,4

Найдем закон распределения функции Y = X² - 2Х: Y -1 0 3

р 0,2 0,4 0,4

(так как Y = 0 при Х = 0 и Х = 2, то р(Y = 0) = р( Х = 0) + р(Х = 2) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ).

3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ(X), φ(x) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ(у) – функция, обратная к φ(х), то плотность распределения g(y) случайно функции Y равна: (10.1)

Пример 3. . Тогда

Пусть Y = φ(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х.

1) Если Х – дискретная случайная величина, то

(10.2)

Пример 3. Найдем M(Y) для примера 1: M(Y) = 47·0,1 + 69·0,2 + 95·0,3 + 125·0,4 = 97.

2) Если Х – непрерывная случайная величина, то M(Y) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g(y), то

(10.3)

Если же g(y) найти сложно, то можно использовать известную плотность распределения f(x):

(10.4)

В частности, если все значения Х принадлежат промежутку (а, b), то

(10.4`)







Сейчас читают про: