Лекция 11. Устойчивость нормального распределения

Устойчивость нормального распределения.

Определение 10.3. Закон распределения вероятностей называется устойчивым, если компози-ция таких законов есть тот же закон (возможно, отличающийся другими значениями парамет-ров).

В частности, свойством устойчивости обладает нормальный закон распределения: композиция нормальных законов тоже имеет нормальное распределение, причем ее математическое ожидание и дисперсия равны суммам соответствующих характеристик слагаемых.

Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия. Линейная корреляция.

Определение 11.1. Нормальным законом распределения на плоскости называют распре-деление вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

(11.1)

Таким образом, нормальный закон на плоскости определяется 5 параметрами: а ₁, а ₂, σ_х, σ_у, r_xy, где а ₁, а ₂ – математические ожидания, σ_х, σ_у – средние квадратические отклонения, r_xy – коэффи-циент корреляции Х и Y. Предположим, что r_xy = 0, то есть Х и Y некоррелированы. Тогда из (11.1) получим:

Следовательно, из некоррелированности составляющих нормально распределенной двумерной случайной величины следует их независимость, то есть для них понятия независимости и некоррелированности равносильны.