И ее закона распределения

Определение дискретной случайной величины

ПОНЯТИЕ О ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ

В этом разделе предполагается, что в пространстве элементарных исходов конечное или счетное число исходов (бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать числами натурального ряда 1, 2, 3, …, , …).

Дискретной случайной величиной называется произвольная числовая функция, определенная на пространстве W с конечным или счетным числом исходов; каждому элементарному исходу ставится в соответствие число ,называемое значением случайной величины на исходе . Обозначаются случайные величины большими латинскими буквами, как правило, из конца алфавита, например, X, Y, Z.

Соответствие Þ x () не обязательно взаимно однозначно. Нескольким элементарным исходам может соответствовать одно и то же число х.

Так как число исходов счетно или конечно, то у каждого элементарного исхода есть вероятность р_i> 0 произойти (сумма всех вероятностей равна, разумеется, 1). Поэтому каждому значению х_i случайной величины Х можно приписать вероятность р_i, равную сумме вероятностей элементарных исходов, на которых случайная величина Х равна х_i. Если конечно или счетно число исходов, конечно или счетно число разных значений x_i. Совокупность всех пар {(х_i, р_i)} называется законом распределения случайной величины Х. Часто закон распределения задают в виде таблицы из двух строк. Она называется таблицей вероятностей. В первой строке стоят числа х_i, во второй строке стоят соответствующие вероятности р_i, причем Пишут еще так: .

Рассмотрим несколько примеров случайных величин.

Пример1. Бросают три монеты. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Пространство элементарных исходов состоит из 8 элементов: W= { ГГГ (3), ГРГ (2), ГГР (2), ГРР (1), РГГ (2), РГР (1), РРГ (1), РРР (0)}. В скобках после каждого элементарного исхода стоит соответствующее ему значение случайной величины. Всего случайная величина Х принимает 4 возможных значения: 0, 1, 2, 3. Полную вероятность каждого значения можно вычислить по формуле Бернулли.

Закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

(табл. 7.1)

Таблица 7.1

хi
рi	1/8	3/8	3/8	1/8

Для контроля: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

Пример 2. В урне лежат 2 белых и 3 черных шара. Наудачу извлекают 3 шара. Случайная величина Y – число белых шаров в выборке. Она принимает 3 значения – 0, 1, 2. Вероятности этих значений подсчитываются по классическим правилам:

; ; .

Закон распределения случайной величины Y задается так (табл. 7.2):

Таблица 7.2

уi
рi	0,1	0,6	0,3

Для контроля: 0,1 + 0,6 + 0, 3 = 1.

Пример3. Кубик бросают до первого появления единицы. Случайная величина Z – число бросаний до появления первой единицы. Возможные значения случайной величины Z – числа 0, 1, 2, 3, … Вероятности этих значений вычисляются из условия независимости бросаний (если Z =k, это означает, что в первых k бросаниях единица не появлялась, а на (k + 1) - м бросании выпала).

Закон распределения случайной величины Z имеет вид (табл. 7.3):

Таблица 7.3

zi				...	k	…
рi	1/6	(5/6)·(1/6)	(5/6)2·(1/6)	…	(5/6) k ·(1/6)	…

Для контроля:.

Определим функции дискретной случайной величины. Пусть Х - дискретная случайная величина с законом распределения {(х_i, р_i)}; φ (x) –некоторая числовая функция, определенная для всех значений х_i. Дискретная случайная величина Y с законом распределения { φ (х_i), р_i } называется функцией случайной величины Х и обозначается Y = φ (Х).

Пусть, например, случайная величина Х задана таблицей вероятностей (табл. 7.4):

Таблица 7.4
xi	-2	-1
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Составим таблицы вероятностей случайных величин 2 Х – 1, Х ² + 1,2 ^Х (табл. 7.5 - 7.7)

Таблица 7.5

2 хi - 1	-5	-3	-1
рi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Таблица 7.6

рi	0,3	0,5	0,2

Таблица 7.7

	0,25	0,5
рi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Поясним, как составлен закон распределения случайной величины Х ² + + 1. Эта случайная величина принимает три возможных значения: 1, если Х= 0; 2, если Х= 1 или Х= -1; 5, если Х= 2 или Х= -2. Поэтому