double arrow

И ее закона распределения


Определение дискретной случайной величины

ПОНЯТИЕ О ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ

В этом разделе предполагается, что в пространстве элементарных исходов конечное или счетное число исходов (бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать числами натурального ряда 1, 2, 3, …, , …).

Дискретной случайной величиной называется произвольная числовая функция, определенная на пространстве W с конечным или счетным числом исходов; каждому элементарному исходу ставится в соответствие число ,называемое значением случайной величины на исходе . Обозначаются случайные величины большими латинскими буквами, как правило, из конца алфавита, например, X, Y, Z.

Соответствие Þ x() не обязательно взаимно однозначно. Нескольким элементарным исходам может соответствовать одно и то же число х.

Так как число исходов счетно или конечно, то у каждого элементарного исхода есть вероятность рi>0 произойти (сумма всех вероятностей равна, разумеется, 1). Поэтому каждому значению хi случайной величины Х можно приписать вероятность рi, равную сумме вероятностей элементарных исходов, на которых случайная величина Х равна хi. Если конечно или счетно число исходов, конечно или счетно число разных значений xi. Совокупность всех пар {(хi, рi)} называется законом распределения случайной величины Х. Часто закон распределения задают в виде таблицы из двух строк. Она называется таблицей вероятностей. В первой строке стоят числа хi, во второй строке стоят соответствующие вероятности рi, причем Пишут еще так: .




Рассмотрим несколько примеров случайных величин.

Пример1. Бросают три монеты. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Пространство элементарных исходов состоит из 8 элементов: W= {ГГГ(3), ГРГ(2), ГГР(2), ГРР(1), РГГ(2), РГР(1), РРГ(1), РРР(0)}. В скобках после каждого элементарного исхода стоит соответствующее ему значение случайной величины. Всего случайная величина Х принимает 4 возможных значения: 0, 1, 2, 3. Полную вероятность каждого значения можно вычислить по формуле Бернулли.

Закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

(табл. 7.1)

Таблица 7.1

хi
рi 1/8 3/8 3/8 1/8

Для контроля: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

Пример 2. В урне лежат 2 белых и 3 черных шара. Наудачу извлекают 3 шара. Случайная величина Y– число белых шаров в выборке. Она принимает 3 значения – 0, 1, 2. Вероятности этих значений подсчитываются по классическим правилам:

; ; .

Закон распределения случайной величины Y задается так (табл. 7.2):

Таблица 7.2

уi
рi 0,1 0,6 0,3

Для контроля: 0,1 + 0,6 + 0, 3 = 1.

Пример3. Кубик бросают до первого появления единицы. Случайная величина Z – число бросаний до появления первой единицы. Возможные значения случайной величины Z – числа 0, 1, 2, 3, … Вероятности этих значений вычисляются из условия независимости бросаний (если Z =k, это означает, что в первых k бросаниях единица не появлялась, а на (k + 1)-м бросании выпала).



Закон распределения случайной величины Z имеет вид (табл. 7.3):

Таблица 7.3

zi ... k
рi 1/6 (5/6)·(1/6) (5/6)2·(1/6) (5/6)k·(1/6)

Для контроля:.

Определим функции дискретной случайной величины. Пусть Х - дискретная случайная величина с законом распределения {(хi, рi)}; φ(x) –некоторая числовая функция, определенная для всех значений хi. Дискретная случайная величина Y с законом распределения {φ(хi), рi} называется функцией случайной величины Х и обозначается Y = φ(Х).

Пусть, например, случайная величина Х задана таблицей вероятностей (табл. 7.4):

Таблица 7.4
xi -2 -1
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Составим таблицы вероятностей случайных величин 2Х – 1, Х2 + 1,2Х (табл. 7.5 - 7.7)

Таблица 7.5

2хi - 1 -5 -3 -1
рi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Таблица 7.6

рi 0,3 0,5 0,2

Таблица 7.7

0,25 0,5
рi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Поясним, как составлен закон распределения случайной величины Х2 + + 1. Эта случайная величина принимает три возможных значения: 1, если Х=0; 2, если Х=1 или Х= -1; 5, если Х=2 или Х= -2. Поэтому







Сейчас читают про: