Случайной величины

Функция распределения дискретной

Функцией распределения F (х) случайной величины Х называется функция числового аргумента х (< х < ), определяемая равенством

F (x) = р (Х < x).

Справа стоит вероятность события {случайная величина Х приняла значение меньше числа x }.

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1. 0 £ F (x) £ 1.

2. Если случайная величина Х не принимает значений, меньших a, то для всех x £ a F (x) = 0.

3. Если случайная величина Х не принимает значений, больших b, то для всех x > b F (x) = 1.

4. F (x) – неубывающая функция. Действительно, пусть х ₁ < х ₂. Тогда событие { Х < х ₂} есть сумма двух несовместных событий:

{ Х < х ₂} = { Х < х ₁} + { х ₁£ Х < х ₂}. Отсюда

5. Из хода доказательства свойства 4 сразу следует, что

6. Функция распределения непрерывна слева.

Чтобы найти значение F (x) для данной дискретной случайной величины Х, нужно рассмотреть все значения x_i случайной величины Х, которые меньше x, и сложить вероятности этих значений:

График функции F (x) представляет собой ступенчатую линию (рис. 7.1). Скачки функции F (x) в точках x = x ₁, x ₂,…,(x ₁ < x ₂ <…) равны значениям соответствующих вероятностей р ₁, р ₂, ….