double arrow

Геометрическое, гипергеометрическое)


Некоторые распределения (биноминальное, Пуассона,

Биноминальное распределение. Случайная величина Х называется распределенной по биноминальному закону, если ее возможные значения - числа 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

где , q=1 – p, 0 < p< 1.

Это распределение зависит от двух параметров: p и n. Например, случайная величина Х – число появлений “успеха” в n независимых испытаниях – имеет биноминальное распределение.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения - числа 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Пуассона:

, где k = 0, 1, 2,…, λ > 0.

Распределение зависит от параметра λ. Распределение Пуассона является предельным для биноминального, если устремить значение параметра n кбесконечности и положить λ = np = const. Пользоваться формулой Пуассона вместо формулы Бернулли разумно, когда n велико, а вероятность p мала.

Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения - числа 0, 1, 2, …, k,… Соответствующие вероятности вычисляют по формуле




p+ q=1, где 0 < p < 1, k = 0, 1, 2,… .

Вероятности рк образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q. Геометрическое распределение получается, если производится ряд независимых попыток получить некоторый “успех”. Вероятность “успеха” в каждом испытании равна р. Случайная величина Х – число испытаний до первого “успеха”. Геометрическое распределение зависит от одного параметра р. Иногда рассматривают случайную величину Y, равную числу испытаний до первого “успеха”, включая удавшееся. Вероятности значений величины Y:

, где k = 1, 2,… .

Такое распределение называют начинающимся с 1.

Гипергеометрическое распределение. Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, a, b, если она может принимать значения 0, 1, 2, …a с вероятностями

, где k= 0, 1, 2, …, a; a + b ³ n ³ k; a, b, n - натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение возникает, например, в такой ситуации. Имеется урна, в которой a белых и b черных шаров. Из нее вынимают наудачу n шаров. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров - имеет гипергеометрическое распределение.

Докажем, что сумма вероятностей значений случайных величин, имеющих биноминальное, пуассоновское, геометрическое и гипергеометрическое распределения, равна 1.

1. Равенство единице суммы биноминальных вероятностей было доказано в разделе 6.

2.

3.

4. Суммировать вероятности гипергеометрического закона нет необходимости, т. к. события Нk = {Х = k}, k = 0, 1, 2, …, a образуют разбиение классического пространства элементарных исходов, в котором всего исходов. Поэтому сумма этих вероятностей равна 1.









Сейчас читают про: