Шкалы интервалов

Шкалы порядка

Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная шкала (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам xi или их неразличимым группам дается некоторый признак. Такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.

Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов.

Аксиома тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы).

Отличительная черта: отсутствие математических свойств.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т.п. Единственная цель таких измерений – выявление различий между объектами разных классов.

Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование j(x), которое удовлетворяет условию: если х1 > x2, то и j(x1)> j(x2) для любых шкальных значений х1 > x2 из области определения j(x). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Аксиома тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы). Дополнительно удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности: если а>б, то б<a,; если а>б и б>с, то а>с.

Отличительная черта: отношение порядка не определяет расстояние между значениями шкалы.

Измерение в шкале порядка может применяться в следующих ситуациях:

· необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве;

· нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

· какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примерами шкалы порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров, служебное положение, образование, воинское звание и т.п.

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида j(x) = ах + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а>0; b – любое значение.

Аксиома: тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы). Аксиомы упорядоченности: если а>б, то б<a,; если а>б и б>с, то а>с. Дополнительно можно ввести между любыми двумя значениями метрическое расстояние, т.е. какую-либо функцию, удовлетворяющую аксиомам: f (a,b) ³0; f(a,b) = 0, если a=b; f(a,b)=f(b,a); f(a,b)≤f(a,c)+f(c,b).

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

х1 – х2	=	j(x1)- j(x2)	= const
х3 – х4	j(x3)> j(x4)

Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t⁰F = 1,8 t⁰C + 32.

Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако, кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись

х1 – х2	= К
х3 – х4

означает, что расстояние между х1 и х2 в К раз больше расстояния между х3 и х4 и в любой эквивалентной шкале это значение сохранится.