2014-02-13
390
Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы. Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета. Поэтому целесообразность выбора того или иного метода определяется непосредственно программистом.
Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей.
Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность. Для больших систем порядка число действий умножений и делений близко к.
Для контроля ошибки реализации метода используются так называемые контрольные суммы. Схема контроля основывается на следующем очевидном положении. Увеличение значения всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Создадим дополнительный столбец, хранящий сумму элементов матрицы по строкам. На каждом шаге реализации прямого хода метода Гаусса будем выполнять преобразования и над элементами этого столбца, и сравнивать их значение с суммой по строке преобразованной матрицы. В случае не совпадения значений счет прерывается.
Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса. Например,
Метод простой итерации для решения СЛАУ.
Пусть дана линейная система (13). Введя в рассмотрение матрицы (15), систему (13) коротко можно записать в виде матричного уравнения (14). Предполагая, что диагональные коэффициенты aij не равны 0 (i = 1, 2, …, n),
| ) |
