Нейтрализация явления Гиббса в частотной области

Весовые функции

Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области (и любой другой области аргументов) является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала. Что последнее возможно, показывает, например, даже такая простая модификация прямоугольной функции, как уменьшение в два раза значений ее крайних членов. Фурье-образ модифицированной П-функции уже рассматривался нами в составе сглаживающих фильтров МНК 1-го порядка и отличается от обычной П-функции с тем же размером окна выходом в ноль на частоте Найквиста и несколько меньшей амплитудой осцилляций при небольшом расширении главного максимума. В силу тождественности всех свойств прямого и обратного преобразований Фурье все ниже рассматриваемое действительно и для нейтрализации явлений Гиббса во временной области при усечениях спектров.

Рассмотрение продолжим с формулы (1.1.1) при усечении произвольного оператора фильтра h(n) прямоугольным селектирующим окном П_N(n). Период осцилляций суммы усеченного ряда Фурье (1.1.1) равен периоду последнего сохраненного либо первого отброшенного члена ряда. С учетом этого фактора осцилляции частотной характеристики могут быть существенно сглажены путем усреднения по длине периода осцилляций в единицах частоты, т.е. при нормированной свертке с П_r(ω) - импульсом, длина которого равна периоду осцилляций r = 2p/(N+1). Эта свертка отобразится во временной области умножением коэффициентов фильтра h(n) на множители, которые являются коэффициентами преобразования Фурье частотной П-образной сглаживающей функции П_r(w):

H'_N(w) = H_N(w) _* П_r(w) ó h_ns_N(n) = h(n)П_N(n)s_N(n),

p(n) = П_N(n)s_N(n) = sinс(pn/(N+1)), |n| £ N. (2.1.1)

Эта операция носит название сглаживания Ланцоша. Произведение П_N(n)s_N(n) = s_N(n) представляет собой новое весовое окно селекции p(n) взамен прямоугольного окна. Функцию s_N(n) обычно называют временной весовой функцией (окном). Вид и частотная характеристика весового окна Ланцоша в сопоставлении с прямоугольным окном приведены на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Весовая функция Ланцоша.

Как видно на рисунке, частотная характеристика весовой функции Ланцоша по сравнению с П-образной функцией имеет почти в 4 раза меньшую амплитуду осцилляций, но при этом ширина главного максимума увеличилась примерно на четверть. Отметим, однако, что если амплитуда осцилляций (в единицах амплитуды главного максимума) определяется выбранным типом весовой функции, то ширина главного максимума, которой определяется ширина переходной зоны (вместо скачка функции) зависит от размеров весового окна и соответственно может изменяться под поставленные условия (уменьшаться увеличением размера 2N+1 весового окна).