2014-02-13
2294
В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме, и при этом с минимальными размерами весового окна.
В таблицах 2.2.1 и 2.2.2 приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных и часто используемых весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами (как и в (2.1.1)), что выполняется без дальнейших пояснений. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической, а не в дискретной форме, с временным окном 2t, симметричным относительно нуля (т.е. 0
t). При переходе к дискретной форме окно 2t заменяется окном 2N+1, а значения t - номерами отсчетов n (t = nDt). Следует заметить, что большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения, т.е. фактическое окно усечения данных занижается на 2 точки. Последнее исключается, если принять 2t = (2N+3)Dt.
|
|
|
Таблица 2.2.1.
Основные весовые функции
| Временное окно | Весовая функция | Фурье-образ |
| Естественное (П) | П(t) = 1, |t|£t; П(t) = 0, |t|>t | П(w) = 2t sinc[wt] |
| Бартлетта (D) | b(t) = 1-|t|/t | B(w) = t sinc2(wt/2). |
| Хеннинга, Ганна | p(t) = 0.5[1+cos(pt/t)] | 0.5П(w)+0.25П(w+p/t)+0.25П(w-p/t) |
| Хемминга | p(t) = 0.54+0.46·cos(pt/t) | 0.54П(w)+0.23П(w+p/t)+0.23П(w-p/t) |
| Карре (2-е окно) | p(t) = b(t)·sinc(pt/t) | t·B(w)*П(w), П(w) = 1 при |w|<p/t |
| Лапласа-Гаусса | p(t) = exp[-b2(t/t)2/2] | [(t/b) exp(-t2w2/(2b2))] * П(w)
|
| Кайзера-Бесселя | p(t) =
Jo[x] = [(x/2)k/k!]2
| Вычисляется преобразованием Фурье. Jo[x] - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка |
Таблица 2.2.2.
Характеристики спектров весовых функций
| Параметры | Ед. изм. | П- окно | Барт- летт | Лан-цош | Хен- нинг | Хемминг | Кар- ре | Лаплас | Кайзер |
| Амплитуда: Главный пик 1-й выброс(-) 2-й выброс(+) Ширина Гл. пика Положения: 1-й нуль 1-й выброс 2-й нуль 2-й выброс | t %Гл.п. - “ - wt/2p wt/2p wt/2p wt/2p wt/2p | 0.217 0.128 0.60 0.50 0.72 1.00 1.22 | - 0.047 0.89 1.00 - - 1.44 | 1.18 0.048 0.020 0.87 0.82 1.00 1.29 1.50 | 0.027 0.0084 1.00 1.00 1.19 1.50 1.72 | 1.08 0.0062 0.0016 0.91 1.00 1.09 1.30 1.41 | 0.77 - - 1.12 - - - - | 0.83 0.0016 0.0014 1.12 1.74 1.91 2.10 2.34 | 0.82 .00045 .00028 1.15 1.52 1.59 1.74 1.88 |
Рис. 2.2.1. Примеры весовых функций.
Сравнительный вид весовых функций приведен на рис. 2.2.1. Расчет функций проведен с исключением нулевых значений на границах весового окна.
Спектральные окна Бартлетта и Карре не имеют отрицательных выбросов и применяются, в основном, для усечения корреляционных функций. Функция Карре не имеет нулей и представляет собой положительно убывающую функцию. Функции Хеннинга и Хемминга примерно одного класса, функция Хемминга является улучшенным вариантом функции Хеннинга. Частотные образы функций Бартлетта и Хемминга приведены на рис. 2.2.2.
|
|
|
Рис. 2.2.2. Частотные функции весовых окон.
Весовые окна Лапласа и Кайзера - усеченные функции соответственно Гаусса и Бесселя. Степень усечения зависит от параметра b. Характеристики функций, приведенные в таблице 2.2.2, действительны при b=3 для окна Лапласа и b=9 для окна Кайзера. При уменьшении значения b крутизна главного максимума сглаживающих функций увеличивается (ширина пика уменьшается), но платой за это является увеличение амплитуды осцилляций.
Рис. 2.2.3. Частотные функции весовых окон.
Функции Лапласа и Кайзера являются универсальными функциями. По-существу, их можно отнести к числу двупараметровых: размером окна 2t (числом N) может устанавливаться ширина главного максимума, а значением коэффициента b - относительная величина осцилляций на частотной характеристике весовых функций, причем вплоть до осцилляций П-окна при b=0. Это обусловило их широкое использование, особенно при синтезе операторов фильтров.
Попутно заметим, что достаточно гладкие частотные характеристики весовых функций позволяют использовать их в качестве сглаживающих низкочастотных НЦФ.
