Разностное уравнение

В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования TL:

y(kDt) = TL{x(kDt)}.

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:

a_m y(kDt-mDt) =b_n x(kDt-nDt), (4.1)

где k = 0,1,2,..- порядковый номер отсчетов, Dt - интервал дискретизации сигнала, a_m и b_n - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Положим a₀ = 1, что всегда может быть выполнено соответствующей нормировкой уравнения (4.1), и, принимая в дальнейшем Dt = 1, приведем его к виду:

y(k) = b_n x(k-n) –a_m y(k-m). (4.2)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов). Если хотя бы один из коэффициентов a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами. Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантными по аргументу).