Факторов

Дробный факторный эксперимент для двухуровневых

По сути дела, модель считается адекватной, если погрешности расчета функции отклика y по модели не превышают погрешности ее экспериментального определения.

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию, однако с ростом числа факторов число опытов в нем резко возрастает. Так при трех факторах следует поставить 2³ = 8 опытов, при пяти 2⁵ = 32, а уже при восьми 2⁸ = 256 опытов.

В то же время, начиная эксперимент, исследователь часто не знает, в какой части изучаемой поверхности отклика он находится. Поэтому, естественно в начале нужно попытаться получить некоторую, хоте бы и не очень точную информацию при минимальной затрате труда на проведение эксперимента.

Именно из этих соображений на первых этапах ограничиваются построением лишь линейной модели локального участка поверхностиотклика. Но если ограничить задачу только линейным описанием, использование полного факторного эксперимента становится явно нецелесообразным, поскольку число его опытов заметно превышает число коэффициентов линейного уравнения. Возникает желание сократить число опытов за счет той информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов и которая для построения постулируемой линейной модели не существенна.

Рассмотрим снова ПФЭ 2². Мы уже видели, что с его помощью с учётом эффектов взаимодействия можно построить модель вида

. (3.57)

Однако, если есть основания предположить, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить всего три коэффициента: b₀, b₁, b_2. Тогда квадратичный эффект взаимодействия факторов , учитываемый коэффициентом b ₁₂ возможно имеет малую величину. Это предположение позволяет включить в схему эксперимента еще один новый фактор . Для этого производится замена столбца взаимодействия на столбец с теми же знаками. Эта процедура записывается так . Таким образом, получена матрица планирования уже для трех факторов (табл. 3.4).

Формула ДФЭ записывается в виде

N= 2^k-р, (3.58)

где: k – число исследуемых факторов,

p – число эффектов взаимодействия, заменяемых на действие нового фактора.

Таблица 3.4. План ДФЭ 2^3-1.

№ опыта	x0	x1	x2	x1x2=x3	y
	+ + + +	+ – + –	+ + – –	+ – – +	y1 y2 y3 y4

По результатам проведения опытов спланированного эксперимента можно построить линейную модель уже для трех факторов при числе опытных точек четыре, и число определяемых коэффициентов линейной модели также равно четырём.

. (3.59)

Коэффициенты этой модели рассчитываются по ранее приведенной формуле:

, i = 0, 1, 2…, k. (3.60)

Планы дробного факторного эксперимента (ДФЭ), как и планы ПФЭ, обладают свойствами симметричности, нормировки, ортогональности и ротатабельности.

Наиболее важное отличие описанного планирования ДФЭ от полного факторного эксперимента заключается в следующем. Из плана видно, что величина коэффициента b₃ в точности совпадает с величиной коэффициента b ₁₂ (знаки столбцов x ₃ и x ₁ x ₂ одинаковые). Если в дополнение к столбцам, указанным в плане, построить столбцы x ₁ x ₃ и x ₂ x ₃, то они в точности совпадут со столбцами x ₂ и x ₁ соответственно и, следовательно, коэффициенты b ₁₃и b ₂₃ совпадут соответственно с коэффициентами b ₂и b ₁. Таким образом, планы ДФЭ уже не позволяют получить раздельные, независимые оценки коэффициентов, как это делалось при полном факторном эксперименте. В данном случае говорят, что линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это записывается следующим образом:

, , , (3.61)

где b_j – вычисленные оценки коэффициентов;

, – неизвестные истинные значения коэффициентов.

Приведенную запись можно прочесть следующим образом: например вычисленное значение коэффициента b ₁является совместной оценкой коэффициентов β ₁ и β ₂₃, т.е. величина b ₁свидетельствует как о влиянии фактора x ₁, так и совместном влиянии факторов x ₂ и x ₃. Итак, в рассматриваемом ДФЭ нельзя отделить линейное влияние факторов x ₁, x ₂и x ₃ от их парных взаимодействий.

Сказанное, свидетельствует о значительной потере информации при проведении ДФЭ по сравнению с полным факторным экспериментом, но это естественная плата за сокращение числа опытов. Действительно ПФЭ для трех факторов должен был бы содержать 2³ = 8 опытов, а в данном случае опытов требуется вдвое меньше.

Указанные в табл. 3.4 четыре опыта, поставленные для оценки влияния трех факторов, представляют собой половину ПФЭ или дробную реплику. Составляют дробные реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми независимыми переменными. Эти реплики условно обозначает 2^к-р. Тогда, если ПФЭ 2⁶включает 64 опыта, то 1/2–реплика (полуреплика) содержит 2^6-1 = 32 опыта, 1/4–реплика (четверть–реплика) – 2^6-2= 16 опытов, 1/8–реплика – 2^6-3 = 8 опытов. Естественно, что минимальная дробная реплика для построения линейной модели должна включать не менее (k+1) опытов, где k – число факторов.

Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых определяющих контрастов. Полуреплика 2^3-1 построена после приравнивания x ₃ к x ₁ x ₂, т.е.

x₃ = x ₁ x ₂ (3.62)

Это выражение называют генерирующим соотношением. Оно в общем случае показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект. Умножим обе части генерирующего соотношения на x _3.

x ₃² = x ₁ x ₂ x _3. (3.63)

Столбец x ₁ x ₂ x ₃ (как x ₃²) состоит из одних +1. Поэтому можно записать

1 = x ₁ x ₂ x ₃ . (3.64)

Символическое обозначение произведения столбцов, равное+1 (или –1), называют определяющим контрастом.

С помощью определяющего контраста можно определить систему смешивания эффектов. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если 1 = x ₁ x ₂ x ₃, то для x ₁ имеем x ₁ = x ₁²x₂ x ₃ = x ₂ x ₃,т.к. всегда x ² = 1. Находим для столбца x ₂ : x ₂ = x ₁ x ₂² x ₃ = x ₁ x ₃, для столбца x ₃: x ₃ = x ₁ x ₂ x ₃² = x ₁ x ₂.

Если существует какая-либо априорная информация об эффектах взаимодействия, то ее следует использовать при выборе реплики. В случае, когда предварительной информации нет, стремятся выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высокого порядка. Последнее связано с тем, что очень часто основные эффекты сильнее парных взаимодействий, парные – сильнее тройных, тройные – четверных и т.д.