Ошибки опытов. Дисперсия воспроизводимости

Кроме основных факторов, влияние которых на объект исследования изучается при проведении эксперимента, действуют случайные факторы. Неидеальные условия проведения опытов приводят к наличию двух групп погрешностей: систематических и случайных.

Систематические погрешности - это погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся теми же методами и приборами. Систематические ошибки легко обнаружить при небольшом числе проверок с помощью известного значения измеряемой величины. Их можно устранить, например, калибровкой измерительного средства.

Случайные погрешности характеризуются тем, что их значение различно даже для измерений, выполненных в одинаковых условиях. К случайным погрешностям, например, можно отнести округление доли деления прибора экспериментатором, производящим измерение.

С целью учёта случайных погрешностей определяется о шибка воспроизводимости опытов, которая в зависимости от располагаемых экспериментатором ресурсов может быть оценена различными путями:

1. Путем постановки параллельных (дублирующих) опытов в одинаковых условиях n раз.

2. Неравномерным дублированием опытов в различных точках плана.

3. Проведением по одному опыту в каждой точке плана эксперимента и проведением опытов-дублей в центре плана при нулевых значениях всех факторов. При этом предполагается, что случайная погрешность проведения опытов и, соответственно, дисперсия определения величины y_i одинакова во всём факторном пространстве.

Например, при равномерном дублировании опытов среднее значение замеряемого параметра равно

, (3.9)

где у_i –значение параметра в i –том опыте,

n – число опытов параллельных опытов (дублей).

Дисперсия воспроизводимости случайной величины определяется выражением

, (3.10)

где – среднеквадратичное отклонение случайной величины .

Параллельные опыты должны быть проанализированы на наличие грубых ошибок. Для исключения ошибочных опытов используются специальные методы математической статистики. В первом приближении при параллельных испытаниях можно считать ошибочными результаты, выходящие за пределы двух среднеквадратических отклонений

. (3.11)

Если число экспериментальных точек в плане эксперимента равно N и в каждой проводится по n параллельных опытов, то дисперсия параметра определяется по формуле

. (3.12)

Такой поход к определению дисперсии воспроизводимости справедлив, если выполняется условие однородности дисперсий в каждой j –той точке плана эксперимента.Задача проверки однородности дисперсий относится к задачам статистической проверки гипотез. Общая схема решения таких задач состоит в следующем.

1. Выбирается критерий проверки гипотезы – функция случайных аргументов с известным законом распределения. Это могут быть критерии Фишера F, Кохрена G или другие.

2. Выбирается уровень значимости критерия - вероятность того, чтобы принять верную гипотезу неверной. Обычно уровень значимости принимается 1%, 2% или 5% ( = 0,01; 0,02; 0,05).С увеличением величины растет вероятность ошибки. В технике часто принимается равным 0,05.

3. С помощью таблиц распределения критерия находится область допускаемых значений (предельное значение выбранного критерия).

4. По опытным данным вычисляется значение критерия и сравнивается с предельным значение выбранного критерия. Если найденное значение критерия, найденного по опытным данным меньше предельного, то гипотеза принимается, в противном случае гипотеза считается неверной.

Для проверки гипотезы об однородности двух дисперсий используется критерий Фишера F, который представляет собой отношение максимальной дисперсии к минимальной для соответствующих чисел степеней свободы и уровней значимости (см. приложение 2)

. (3.13)

Если полученное расчётом по результатам испытаний значение критерия Фишера F меньше табличного значения F_т, то две дисперсии однородны.

Распределение критерия Фишера зависит от двух степеней свободы:
– для n₁ параллельных опытов, в которых дисперсия оказалась максимальной, и – для n₂ параллельных опытов, в которых дисперсия оказалась минимальной.

При равномерном дублировании опытов (одинаковое число опытов в каждой точке плана эксперимента) однородность дисперсий проверяется с помощью критерия Кохрена G, который определяется как отношение максимальной дисперсии к сумме всех других дисперсий

. (3.14)