Построение и анализ статистических зависимостей между входными и выходными переменными

Лекция 3

Одной из наиболее сложной задачей обработки результатов наблюдений за системой является установление причинно-следственных связей, существующих между входными факторами, действующими на систему, и выходными переменными, описывающими результаты ее функционирования.

Решение этой задачи осуществляется с помощью ряда методов, объединенных общим названием - методы статистического анализа. К ним относятся дисперсионный, регрессионный, корреляционный, факторный анализы и т.п. С точки зрения учета влияния фактора времени на результаты наблюдений они делятся на методы статического (без учета t) и динамического (с учетом t) статистического анализа. Мы ограничимся рассмотрением только методов статического статистического анализа.

Входные переменные , характеризующие причины, влияющие на поведение системы, будем называть факторами, а выходные переменные y - результатом (результатом наблюдений, откликом).

В ходе статистического анализа необходимо ответить на следующие вопросы:

1. Зависят ли результаты y от факторов и какова степень этой зависимости.

2. Влияние каких факторов на результаты существенно, а каких - нет.

3. Можно ли сократить число факторов, используемых при анализе, и каких именно.

4. Какой вид имеет зависимость (взаимосвязь) между факторами и результатом.

5. Можно ли и как по результатам определить факт действия того или иного фактора. (Задача распознавания).

Ответы на вопросы 1 - 3 могут быть получены методами дисперсионного, корреляционного, регрессионного и факторного анализа, на вопрос 4 - регрессионного и корреляционного с применением МНК, на вопрос 5 - теория классификации и распознавания образов.

Мы ограничимся рассмотрением задач 1 - 4.

При проведении статистического анализа будем рассматривать два типа факторов - качественные и количественные.

Качественными называются факторы, характеристики которых не выражаются числовым показателем. Например, тип прибора, номер станка, дисциплина обслуживания (в СМО) и т.п.

Количественными называются факторы, характеристики которых выражаются числовым показателем - температура, скорость, вес...

Количественные факторы могут рассматриваться и как качественные: например, проводя наблюдения за системой при двух значениях температуры среды и , ее можно рассматривать как качественный фактор с двумя уровнями.

Различные методы статистического анализа используют факторы разного типа:

Дисперсионный анализ (ДА) - качественные

Регрессионный анализ (РА) - количественные

Корреляционный анализ (КА) - и качественные, и количественные.

Взаимосвязь между факторами X и результатом y может иметь вид:

1. Функциональная зависимость

- неслучайны; - ошибки измерений (случайны).

или ; - случайные.

2. Стохастическая зависимость

- с неслучайными факторами

- со случайными факторами

Задачами определения вида кривой для функции и ее параметров занимается регрессионный и корреляционный анализ с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Задачами установления факта наличия взаимосвязи занимается дисперсионный, факторный анализ.

Регрессионный анализ применяется в тех случаях, когда необходимо установить вид взаимосвязи между входными и выходными переменными.

Корреляционный анализ применяется тогда, когда необходимо установить наличие и степень линейной взаимосвязи между переменными.

Дисперсионный анализ применяется для определения существенности (несущественности) влияния различных одновременно действующих факторов на результаты наблюдений.

Факторный анализ