Проверка значимости фактора

Проверка существенности влияния фактора сводится к проверке гипотезы о равенстве внутригрупповых математических ожиданий , т.е. гипотезы

H₀: a₁ = a₂ = … = a_m = 0 или иначе

H₀:, т.к. .

Если эта гипотеза верна, то и разброс групповых средних относительно общего среднего, характеризующийся межгрупповой (факторной) дисперсией D_мг по сравнению с остаточной (внутригрупповой) D_вг несущественен. Для проверки правильности этой гипотезы в дисперсионном анализе используется показатель вида

.

Т.е. эквивалентная гипотеза

H₀: D_факт £ D_ост; H₁: D_факт > D_ост

H₀-фактор несущественно влияет на результат.

Величина U подчинена F-распределению с (m-1) и (N-m) степенями свободы. Для проверки используется правосторонняя критическая область вида

f(U)

a - уровень значимости

U_кр U

U_кр выбирается из таблицы F распределения при заданном уровне значимости a и степени свободы (m-1) и (N-m) числителя и знаменателя соответственно.

Если вычисленное значение U < U_кр, то гипотеза H₀ принимается (расхождение дисперсий и, следовательно, математических ожиданий - незначимо), в противном случае, (U > U_кр) гипотеза отвергается.

Если D_мг < D_вг, то фактор незначим.

В случае, если влияние фактора х на результаты существенно (гипотеза H₀ отвергнута) для выявления уровней факторов i = 1…m в наибольшей степени влияющих на результаты можно осуществить попарное сравнение выборочных средних (по уровням) , i = 1…m.

Учитывая предположение о равенстве дисперсий и нормальном законе распределения генеральной совокупности, при сравнении средних можно использовать следующее.

1. Для очередной пары (i, k; k ¹ i; i = 1…m) рассматривается гипотеза H₀: (m_i = m_k). В качестве меры рассогласования используется величина

Эта случайная величина подчинена t-распределению Стьюдента с (n_i + n_k – 2) степенями свободы. Если вычисленная мера рассогласования |U| < U_кр, то гипотеза о равенстве средних на уровнях i и k принимается, в противном случае – отвергается.

Значение U_кр ищется из f-распределения с соответствующим числом степеней свободы для двусторонней критической области r = n_i + n_k – 2.

После попарного сравнения всех уровней выявляются те, действие которых на результаты наблюдений наиболее значимо.

Пример

Прибор испытывается в 3х различных условиях по 4 наблюдения в каждом условии (см. табл.).

Уровень	Номер испытания

n = 4, m = 3, N = 3 × 4 = 12.

Для определения значимости фактора х рассмотрим гипотезу

H₀:

Для этого вычислим .

При a = 0.05 и степенях свободы r₁ = 3-1 = 2 (числителя) и r₂ = N-m = 12-3 = 9 (знаменателя) по таблице F распределения получим U_кр = 4.26.

Т.к. 6 > 4.26, то гипотеза H₀ отвергается, т.е. фактор х (условия наблюдения) влияет на результаты.

Определим номер уровня, наиболее существенно влияющий на результаты.

Рассмотрим попарно следующие уровни (гипотезы)

H₁₀:

Определим меру рассогласования средних значений на 1-м и 2-м уровнях

(m₁ = m₂)

При уровне значимости a = 0.05 и степенях свободы r = (n+n-2) = 6 значения tкр по t-распределению = 2.447.

Т.к. |-0.528| < 2.447, то гипотеза H₀₁ принимается, т.е. средние и различаются незначимо и их влияние на результат наблюдений одинаково.

H₂₀:

(m₁ > m₃)

U₂ > U_кр – гипотеза H₂₀ отвергается

H₃₀:

(m₂ > m₃)

|2.95| > 2.447 – гипотеза H₃₀ отвергается

Отсюда следует, что наиболее существенно на результаты наблюдений влияет уровень i = 3, т.е. третьи условия наблюдений.

Для выявления наиболее существенного влияния уровня могут использоваться и другие подходы (например, метод линейных контрастов (Юсупов), ранговый критерий Дункана).