Правило Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если D¹0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку D¹0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. à

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (D¹0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где D – определитель основной матрицы, D _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если D=0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.