Постановка вариационной задачи с подвижными границами

Пусть в простейшей вариационной задаче точки A и B находятся на кривых (1)

Функция y допустима, если удовлетворяет условиям допустимости в простейшей вариационной задаче, а граничные точки выбираются произвольно на кривых, определяемых (1). Минимизируемый функционал имеет нефиксированные пределы интегрирования.

Рассмотрим задачу:

Рассмотрим сначала случай удовлетворяет уравнению: . Функционал обозначим: - класс допустимых функций в простейшей задаче вариационного исчисления, в которой

Теорема 1. Если - решение задачи с подвижным правым концом, то необходимо (2)

(3)

Доказательство:

-решение простейшей задачи для и (2) имеет место. Пусть

Т.к. , то , что Пусть такая, что - непрерывно дифференцируемое расширение на

принадлежит

Положим

Т.к. , то в достигает локального минимума и

+ (4)

.

Т.к. удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа, отвечающему основной функции , то

(5)

А (6)

Преобразуя (4) с учетом (5) и (6), получаем

Равенство (3) называют условием трансверсальности на правом конце. Если правая кривая (граница) имеет уравнение , , то оно принимает вид

Аналогично можно рассмотреть случай незакрепленного левого конца или обоих концов.