Изопериметрическая задача

На множестве допустимых функций накладывается условие: функционал, заданный на множестве допустимых функций (как и минимизируемый) должен принимать фиксированное значение на любой допустимой функции.

Пусть - открытое выпуклое множество, , , Функцию назовем допустимой , если , , , , . Каждой поставим в соответствие число . Требуется минимизировать функционал I на . В случае изопериметрическая задача имеет вид: .

, , .Пусть Для рассмотрим функционал .

Теорема 1. Если решение изопериметрической задачи, то найдется что удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, соответствующему функционалу , т.е. .

Доказательство. не стационарная функция для (иначе ). Пусть , Такая найдется, т.е. не стационарная для . Рассмотрим двухпараметрическое семейство функций

Причем , i=1,2, . Для малых по абсолютной величине . Положим . Видно что , i=1,2. и по теореме о неявной функции уравнение определяет функцию в окрестности точки . При этом . из малой окрестности О (1) и дифференцируя обе части (1) по получаем (2). Откуда с учетом получаем (3)

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций

где малая окрестность нуля. Из следует , что значит , а и достигает минимума при . Тогда и с учетом (3) получаем

(4)

. Пусть , тогда из (4) , что означает и интегрируя по частям получаем , при (5). Тогда из леммы Лагранжа .

Замечание: интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называют экстремалями. Экстремум может достигаться только на них. Из Т.1, если не экстремаль для , то можно сразу взять .