2015-01-21
409
На множестве допустимых функций накладывается условие: функционал, заданный на множестве допустимых функций (как и минимизируемый) должен принимать фиксированное значение на любой допустимой функции.
Пусть 
- открытое выпуклое множество, 
, 
, 
Функцию 
назовем допустимой 
, если 
, 
, 
, 
, 
. Каждой 
поставим в соответствие число 
. Требуется минимизировать функционал I на 
. В случае 
изопериметрическая задача имеет вид: 
.
, , .Пусть 
Для 
рассмотрим функционал 
.
Теорема 1. Если 
решение изопериметрической задачи, то найдется 
что 
удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, соответствующему функционалу 
, т.е. 
.
Доказательство. не стационарная функция для 
(иначе 
). Пусть 
, 
Такая 
найдется, т.е. не стационарная для 
. Рассмотрим двухпараметрическое семейство функций
Причем 
, i=1,2, 
. Для малых по абсолютной величине 
. Положим 
. Видно что 
, i=1,2. 
и по теореме о неявной функции уравнение 
определяет функцию 
в окрестности точки 
. При этом 
. 
из малой окрестности О 
(1) и дифференцируя обе части (1) по 
получаем 
(2). Откуда с учетом 
получаем 
(3)
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
где 
малая окрестность нуля. Из следует 
, что значит 
, а 
и 
достигает минимума при 
. Тогда 
и с учетом (3) получаем 
(4)
. Пусть 
, тогда из (4) 
, что означает 
и интегрируя по частям получаем 
, при 
(5). Тогда из леммы Лагранжа 
.
Замечание: интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называют экстремалями. Экстремум может достигаться только на них. Из Т.1, если 
не экстремаль для 
, то можно сразу взять 
.
