Задача 9. Интегрирование выражений

Интегрирование выражений.

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл.

,

где – рациональная функция.

План решения.

1. С помощью «универсальной» подстановки

интегралы от функций приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной . Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

,

получаем

.

2.Применяем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

.

3. Вычисляем первообразную рациональной функции и возвращаемся к переменной , подставляя .

Замечание. Если подынтегральная функция имеет специальный вид, то лучше применять подстановки, требующие меньше вычислений.

1. Если

,

то применяем подстановку . Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

.

2. Если

,

то применяем подстановку . Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

.

3. Если

,

то применяем подстановку . Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

.

4. Если

или

то применяем подстановку , тогда

или

.

Задача 9. Вычислить определенные интегралы.