2015-01-21
1614
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения.
1. Введем обозначения:
,
.
Сравним степени числителя 
и знаменателя 
.
Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя 
больше или равна степени знаменателя 
, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен 
– остаток от деления на , причем степень меньше степени .
2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни 
, кратности 
соответственно, т.е. 
, то разложение на элементарные дроби имеет вид
.
3. Для вычисления неопределенных коэффициентов 
, приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
в числителях слева и справа. Получим систему 
уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.
4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ
где 
– многочлен степени 
.
Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
