2015-01-21
2084
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения.
1. Введем обозначения:
,
.
Сравним степени числителя 
и знаменателя 
.
Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя 
больше или равна степени знаменателя 
, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен 
– остаток от деления на , причем степень меньше степени .
2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни 
, т.е.
,
где
,
то разложение имеет вид
.
3. Для вычисления неопределенных коэффициентов 
, 
приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
в числителях слева и справа. Получим систему 
уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.
4. Интегрируем элементарные дроби вида
.
Выделяем в знаменателе полный квадрат 
(поскольку 
, можно обозначить 
) и делаем замену переменной 
. Получим
5. Складываем результаты интегрирования целой части (если она есть) и элементарных дробей и записываем ответ.
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
