Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения.
1. Введем обозначения:
,
.
Сравним степени числителя и знаменателя .
Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен – остаток от деления на , причем степень меньше степени .
2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни , т.е.
,
где
,
то разложение имеет вид
.
3. Для вычисления неопределенных коэффициентов , приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.
4. Интегрируем элементарные дроби вида
.
Выделяем в знаменателе полный квадрат (поскольку , можно обозначить ) и делаем замену переменной . Получим
|
|
5. Складываем результаты интегрирования целой части (если она есть) и элементарных дробей и записываем ответ.
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.