Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Упорядоченная система трёх взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве. В этой упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М пространства свяжем вектор

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М, соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором (или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор пространства , а x, y, z – его проекции на координатные оси. Так как мы рассматриваем свободные векторы, то совместим начало вектора с началом координат и получим вектор с теми же проекциями x, y, z (рис.7).

Согласно правилу сложения векторов, имеем

Но

значит,

На основании правила умножения вектора на скаляр можно выразить составляющие вектора через его проекции и орты осей:

Тогда предыдущее векторное равенство примет вид

(2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор (1) может быть записан в форме

(3)