2015-01-21
753
В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декартаположение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат 
и 
(крестом). Оси координат пересекаются в точке 
, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.
Рис. 1
Положение точки 
на плоскости определяется двумя координатами 
и 
. Координата равна длине отрезка 
, координата — длине отрезка 
в выбранных единицах измерения. Отрезки и определяются линиями, проведёнными из точки параллельно осям и соответственно.
При этом координате приписывается знак минус, если точка 
лежит на луче 
(а не на луче 
, как на рисунке). Координате приписывается знак минус, если точка 
лежит на луче 
. Таким образом, и являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).
Координата называется абсциссой точки , координата — ординатой точки .
Символически это записывают так:
или
или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:
и т. д.
· В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх, ось смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
· Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат , 
и 
. Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно[2]) одинаковы для всех осей. — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат.
· 
·
· Рис. 2
· Положение точки в пространстве определяется тремя координатами , и 
. Координата равна длине отрезка , координата — длине отрезка , координата — длине отрезка 
в выбранных единицах измерения. Отрезки , и определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям 
, 
и 
соответственно.
· Координата называется абсциссой точки ,
· координата — ординатой точки ,
· координата — аппликатой точки .
· Символически это записывают так:
· 
· или
· 
· или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:
· 
· и т. п.
· Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка лежала не как на рисунке — на луче , а на его продолжении в обратную сторону от точки (на отрицательной части оси ), то абсцисса точки была бы отрицательной (минус расстоянию ). Аналогично и для двух других осей.
· Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ).
