2015-01-21
9202
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Первый замечательный предел имеет вид: 
На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде
где, k – коэффициент.
Пояснение:
Следствия первого замечательного предела:
1. 
2. 
Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или заменуэквивалентных бесконечно малых функций.
Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу с подробным оприсанием решения.
Пример.
Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя 
Решение.
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения. Комбинация синуса и его аргумента подсказывает нам о применении первого замечательного предела, но для этого сначала нужно немного преобразовать выражение. Домножим на 3х и числитель и знаменатель дроби.
В силу следствия из первого замечательного предела 
, поэтому приходим к результату:
Ответ:
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Преобразуем числитель, используя формулы тригонометрии.
Стало видно, что здесь можно применить первый замечательный предел:
Ответ:
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Сделаем замену.
Пусть
, следовательно, 
при 
.
Тогда предел после замены переменной примет вид:
Ответ:
предел имеет вид:
