Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .
Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная
Тогда по определению предела функции разность
(1)
является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим
(2)
(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).
Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при
оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при
Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.
|
|
(3)
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(4)
или
(5)
Итак, дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
(С – постоянная величина) (8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть - сложная функция :
Дифференциал
этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде
Но есть дифференциал функции , поэтому
,
т.е.
(13)