2015-01-21
383
Дифференциал функции в точке 
равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента 
.
Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная
Тогда по определению предела функции разность
(1)
является бесконечно малой величиной при 
. Выразив из равенства (1) приращение функции, получим
(2)
(величина 
не зависит от 
, т. е. остаётся постоянной при ).
Если 
, то в правой части равенства (2) первое слагаемое 
линейно относительно . Поэтому при
оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое 
- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение 
стремится к нулю при
Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.
(3)
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(4)
или
(5)
Итак, дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
(С – постоянная величина) (8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на 
.
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть 
- сложная функция 
:
Дифференциал
этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде
Но 
есть дифференциал функции 
, поэтому
,
т.е.
(13)
