Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.
1. Нахождение области определения функции.
Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.
В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.
(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).
Перейти к подробному описанию нахождения области определения функции...
2. Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.
На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.
В нашем примере граничными точками области определения являются .
|
|
Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.
3. Исследование функции на четность или нечетность.
Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.
Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.
В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy.
4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.
Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.
Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).
o Некоторые авторы полагают, что промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и . В этом случае критические точки не включаются в промежутки.
o Некоторые авторы полагают, что точки, в которых функция определена, а конечной производной не имеет, нужно включать в промежутки возрастания и убывания (например, функция в точке х=0 определена, а производная в этой точке бесконечна , х=0 следует включить в промежуток возрастания функции).
|
|
o По нашему мнению, принципиальной важности это не имеет, хотя и может стать причиной разногласий. Чтобы избежать конфликтов, УТОЧНЯЙТЕ У СВОЕГО ПРЕПОДАВАТЕЛЯ ЕГО ОТНОШЕНИЕ К ВКЛЮЧЕНИЮ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ. А еще лучше, ссылайтесь на математическую литературу, рекомендованную министерством образования РФ.
Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции
o во-первых, находим производную;
o во-вторых, находим критические точки;
o в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
o в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.
Поехали!
Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел дифференцирование функции, нахождение производной).
Находим критические точки, для этого:
o Находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере ;
o Находим нули знаменателя: .
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.
Делаем вывод:
o функция возрастает на промежутке и на промежутке ;
o функция убывает на промежутке и на промежутке .
Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.
Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.
В нашем примере точкой экстремума является точка х=0. Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0, то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).
5. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.
Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.
Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.
Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции:
o во-первых, находим вторую производную;
o во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
o в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
o в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.
Поехали!
Находим вторую производную на области определения.
Далее ищем нули числителя и знаменателя.
В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.
Делаем вывод:
o функция выпуклая на промежутке ;
o функция вогнутая на промежутке и на промежутке .
Точка называется точкой перегиба, если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .
|
|
Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.
В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.
6. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.
Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .
Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной.
Кто такие вообще эти асимптоты?
Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.
Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.
Для нашего примера
- горизонтальная асимптота.
На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.
7. Вычисляем значения функции в промежуточных точках.
Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).
Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2, х=-1, х=-3/4, х=-1/4. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2, х=1, х=3/4, х=1/4.
8. Построение графика.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).