Функция называется непрерывной в точке х 0, если:
1) ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;
2) существует конечный предел ;
3) этот предел совпадает со значением функции в точке х 0, т.е
. (9)
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Если функция не является непрерывной в точке х 0, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х 0), то х 0 называется точкой разрыва функции.
Для определения вида разрыва в точке х 0 находят односторонние пределы и . При этом
если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х 0 разрыв типа выколотой точки;
если существуют односторонние пределы и
, но , то не существует; в этом случае говорят,
что функция терпит в точке х 0 разрыв типа«скачок»;
если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции
при х 0 бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х 0 бесконечный разрыв.
Разрывы типа выколотой точки и типа «скачок» относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.
|
|
Примеры.
1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = – х и y = 2 х. В точке х = 0 функция также непрерывна, т.к.
.
Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).
2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа«скачок» (рис. 10), т.к. , следовательно, не существует.
3) Функция y = tg x непрерывна во всех точках своей ООФ, т.е. для
. В точках функция терпит разрывы II рода (рис. 11), т.к. .