Определение производной. Ее физический и геометрический смысл

Пусть ф-я опр. в т. и в нек-й ее окр-ти . Дадим арг. приращение , тогда ф-я получит приращение .

Опр.1 Производной ф-и в т наз. предел отношения приращения ф-и к соответствующему приращению арг., когда последнее стремится к 0:

.

Пр. .

Опр.2. Правой (левой) производной наз. .

Т1. Критерий сущ-ния производной в точке: существует и .

Опр.3. Ф-я , имеющая конечную производную в
т. , наз. дифференцируемой в этой точке.

Опр. 4. Если , то говорят, что в т. сущ. бесконечная производная.

Аналогично м. показать, что основные эл. функции диф-мы в т. .

_______________________________________________________

Т.2. О связи диф-ти и непрерывности функции в точке: Если ф-я диф-ма в т. , то она непр. в этой точке.

Д-во: , где – б.м. при , тогда непр.

Зам. Дифференцируемость непрерывность,

непрерывность дифференцируемость.

ПР. – непр., но не диф. в т. ,
т.к. .

непр., но не диф. в т. .