Дифференциал функции. Т.6. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке: ф-я диф-ма в т

Т.6. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке: ф-я диф-ма в т. (т.е. имеет конечную производную) ее приращение в этой точке можно представить в виде , где – б.м. более высокого порядка малости, чем .

Д-во: , тогда .

.

Пусть диф-я в т. x, т. е. .

Опр.1. Дифференциалом ф-и наз-ся главная, линейная относительно часть приращения ф-и: .

Зам. Вообще говоря, . Но для . В частности для, .

Зам. .

Геометрический смысл дифференциала:

Дифф-л ф-и в т. , соответствующий приращению , есть приращение ординаты касательной к графику ф-и в т. с абсциссой .

Свойства дифференциалов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Зам. В приближенных вычислениях используется, что .

ПР. , .