Производные и дифференциалы высших порядков

Опр. , – дифференцируемая функция, т.е. , …,

_______________________________________________________

Опр.

ПР. .

Физ. смысл 2-й производной: При прямолинейном движении - ускорение.

Вторая производная для ф-ции, заданной параметрически:

Пусть ф-ция задана , то (см.Т.5).

, но , тогда = = .

ПР. . , .

ПР. производные высших пор. для ф-й, заданных неявно

, из условия , .

Опр. Вторым дифференциалом называется.

Опр. Дифференциалом порядка n ф-ции наз-ся первый диф-л от диф-ла (n-1)- го порядка этой ф-ции. .

Т.о.,. .

Зам. Фор-ла верна лишь для независимой переменной x, т.е., если , , то, .

Действительно, пусть , . С одной стороны, . Будет ли ?

, если , т.е., если не является линейной. (сам!).

!!! Т.о., дифференциалы порядка выше первого не обладают инвариантностью формы.