Теоремы о дифференцируемых функциях

Опр. Ф-ция достигает в т. локального максимума (минимума), если .

Опр. Лок. минимум и лок. максимум ф-и наз-ся локальным экстремумом ф-ции.

Т. 7. Ролля (О корнях производной): Пусть:

1) непрерывна на ;

2) диф-ма на ;

3) ,

тогда .

Д-во. Т.к. непр. на (по т. Вейерштрасса) достигает своего наиб. и наим. значения:

_______________________________________________________

, . Рассмотрим два случая.

а) , то ;

б) . Пусть или : . Док-м, что . для и , , – дифференцируемая в т. c, следовательно . Т.о., имеем , . Если .

Геом. смысл: В т. лок. экстремума касательная к графику параллельна Ox.

Т. 8. Лагранжа (о конечных приращениях): Пусть

1) непр. на ;

2) диф. на ,

тогда : .

Геом. смысл: , касательная в к-й парал. хорде AB.

Д-во. Введем функцию , к-я: а) непр. на , т.к. непр.; б) диф. на т.к. …; в) по т. Ролля : , и . .

Зам. Пусть :

– ф-ла Лагранжа.

Т.9. Коши (об отношении конечных приращений): Пусть:

1) и непр. на ;

2) и диф. на ;

3) ,

тогда : .

Д-во. 1) , иначе по т. Ролля ;
2) уд-ет усл-ю т.Ролля : .

_______________________________________________________