2015-01-21
1227
Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки 
этой же плоскости на одно и тоже расстояние 
. Точка называется центром, а 
— радиусом окружности.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид
, (1)
где 
— координаты её центра, — радиус окружности.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. 
, 
, то уравнение (1) примет вид:
(2)
Пример 5.1. Найдите координаты центра и радиус окружности 
.
Разделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим 
. Дополним выражения 
и 
до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4, а ко второму 
(одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):
.
По формуле (1) имеем 
, 
, т.е. 
— координаты центра окружности; 
— радиус окружности.
Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек 
и 
этой же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
, (3)
где 
— большая полуось, 
— малая полуось эллипса.
v Если 
, то:
1) 
координаты фокусов: 
, 
, где 
— половина расстояния между фокусами (см. рис);
2) числа , и связаны соотношением
; (4)
3) расстояние между фокусами равно 
;
Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом.
Эксцентриситетом 
эллипса называется отношение фокусного расстояния 
(расстояния между фокусами) к большой оси 
:
4) 
(
, т.к. 
); (5)
Директрисами эллипса называются прямые 
и 
параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном 
;
5) 
и 
— уравнения директрис.
v Если 
, то уравнение (3) определяет окружность 
.
Пример 5.2. Дано уравнение эллипса 
. Найдите длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса.
Запишем уравнение эллипса в виде (3), разделив обе его части на 1176:
.
Отсюда 
, 
.
Используя соотношение (4), находим 
и 
. Следовательно, 
и 
.
По формуле (5) находим 
.
