1. Простые проценты.
,
— начальная сумма,
— конечная (накопленная за лет) сумма,
— удельная процентная ставка,
— процентная ставка.
Пример 6.7. Начальная сумма вклада составила 5000 ден.ед. Сколько составит накопленная сумма через три года при процентной ставке 4%?
По условию задачи , , , . Тогда (ден.ед.).
2. Сложные проценты.
или ,
где — коэффициент сложного процента.
Пример 6.8. За период выполнения пятилетнего плана объём продукции должен возрасти на 85%. Каким должен быть средний темп роста?
Пусть начальный объём продукции составлял единиц. Через 5 лет он должен составить единиц (по условию задачи). С другой стороны, по формуле сложных процентов . Следовательно, .
Тогда . Известно, что .
Значит для того, чтобы объём продукции за 5 лет вырос на 85%, средний темп роста должен составлять 13,1%.
3. Начисление процентов раз в году.
.
4. Периодический взнос.
В банк через определенное время (год) вносится постоянная сумма (периодический взнос) под сложные проценты при норме %. Через лет накопится сумма:
|
|
.
Пример 6.9. Какая сумма накопится через 10 лет, если ежегодный взнос составляет 3000 ден.ед., а ставка сложного процента 5% годовых?
По условию задачи , , , , .
Тогда (ден.ед.).
5. Функция спроса.
При определенных условиях спрос на некоторый товар есть функция цены. Эта так называемая функция спроса. Пусть — спрос на товар, — цена товара. Зависимость между спросом и ценой — функция спроса — выражается формулой
.
Пример 6.10. Функция спроса может иметь разный вид, например
а) . В этом случае находим следующие соответствия:
цена — спрос ,
цена — спрос .
б) . В этом случае находим следующие соответствия:
цена — спрос ,
цена — спрос .
Зависимость между спросом и ценой можно поставить двояко:
1) как зависимость спроса от цены;
2) как зависимость цены от спроса.
В первом случае говорят о функции спроса, во втором о функции цен спроса; в этом случае функция есть , а независимая переменная есть .
6. Суммарная выручка.
Если количество проданного товара умножить на его цену , получим суммарную выручку продавца или же суммарные расходы покупателя. Следовательно, суммарная выручка
.
Суммарная выручка есть функция спроса. Функцией суммарной выручки называется закономерность, определяющая зависимость между суммарной выручкой и количеством проданного товара.
Пример 6.11. Если функция цен спроса определяется посредством формулы то функция суммарной выручки имеет следующий вид: . Если , то ;
, то ;
, то .
7. Функция предложения.
При прочих равных условиях предложение какого-либо товара зависит от цены. Если через обозначить цену, а через — предложение, то эту зависимость можно выразить функцией
|
|
.
Это так называемая функция предложения.
И наоборот, каждому предложению соответствует определенная цена . Это можно выразить посредством зависимости
.
Это так называемая функция цен предложения.
8. Функция средних издержек.
Закономерность, определяющая зависимость между издержками производства определенного товара и объёмом производства, называется функцией издержек. Если через обозначить суммарные издержки производства единиц продукта, то функцию суммарных издержек можно выразить в виде
.
Функция называется функцией средних или удельных издержек.
Пример 6.12. Пусть зависимость между издержками производства данного продукта и количеством произведенных единиц этого продукта имеет вид: . Тогда если
, то ;
, то ;
, то .
Для данного случая функции средних издержек есть
.
Тогда если , то ;
, то ;
, то .
9. Распределение доходов. Итальянский экономист Парето сформулировал теорему о распределении доходов в капиталистическом обществе. Если через обозначить число лиц, имеющих доход, не меньше , то , где и — постоянные.
Закон Парето достаточно точно описывает распределение более высоких доходов; в то же время для низких доходов он не оправдывается.
Пример 6.13. Пусть в каком-либо капиталистическом обществе распределение доходов определяется уравнением .
Найдите:
а) число лиц, которые обладают доходом, превышающим 100000;
б) самый низкий доход среди 100 самых богатых лиц.
а) Имеем: , откуда .
Таким образом, 63 человека имеют доход, превышающий 100000.
б) Имеем:
.
Таким образом, самый низкий доход среди 100 богатейших лиц со ставляет 73700.
§ 3. Предел числовой последовательности.