Если каждому числу из некоторого множества соответствует одно и только одно число , то говорят, что на множестве задана функция.
Переменная при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная — зависимой.
Способ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: . Т.е. то обстоятельство, что есть функция аргумента , кратко выражают записью: или и т.п.
Множество называется областью определения функции и обозначается , а множество всех чисел , соответствующих различным числам — областью значений этой функции и обозначается .
Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел.
Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).
Пусть заданы прямоугольная система координат и функция .
Графиком функции называют множество всех точек плоскости с координатами , где .
Для функции, заданной аналитически, т.е. уравнением , под графиком понимают множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .
График функции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение задаёт функцию, графиком которой является парабола.
Функция, заданная аналитически уравнением , определена в точке , если возможно вычислить . Множество таких точек образует область определения функции.
Пример 6.1. Найдите область определения функции:
а) ; б) ; в) .
а) Дробь определена, если её знаменатель не равен нулю. Область определения данной функции можно найти из условия . Таким образом, .
б) Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Значит, .
в) Логарифм определён, когда
.
Значит, .
Основными (или простейшими) элементарными функциями называются:
постоянная функция | ; |
степенная функция | , ; |
показательная функция | , ; |
логарифмическая функция | , , ; |
тригонометрические функции | ; ; ; ; |
обратные тригонометрические функции | ; ; ; . |
Функция, аргумент которой в свою очередь есть функция (, где ), называется сложной функцией (или композицией функций).
Пример 6.2. Функция — простейшая,
— сложная
(, ).
Пример 6.3. Функция сложная, которая может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: , , .
Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций () и композиций (т.е. образования сложных функций). Все остальные функции называются неэлементарными.
Пример 6.4. Примером неэлементарной функции может служить функция вида:
Формула определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.
Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида , неразрешенным относительно функции .
Пример 6.5. Уравнение задает неявно функцию .
Пусть для любых различных значений справедливо, что . Тогда для любого найдётся только одно значение , такое, что .
Функция , определённая на , называется обратной для функции .
Пример 6.6. Найдите обратную функцию для данной:
а) ; б) ; в) .
а) Для функции обратной функцией является функция , или в стандартной форме .
б) Разрешим уравнение относительно : . Обратной функцией является функция .
в) Для функции обратной функцией является функция , или в стандартной форме .
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.