2015-01-21
435
 |
Если каждому числу 
из некоторого множества 
соответствует одно и только одно число 
, то говорят, что на множестве задана функция.
Переменная при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная — зависимой.
Способ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: 
. Т.е. то обстоятельство, что есть функция аргумента , кратко выражают записью: 
или 
и т.п.
Множество называется областью определения функции и обозначается 
, а множество всех чисел , соответствующих различным числам 
— областью значений этой функции и обозначается 
.
Эти области могут представлять собою отдельные точки числовой прямой, отрезки, интервалы этой прямой, множество всех действительных чисел.
Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).
Пусть заданы прямоугольная система координат 
и функция .
Графиком функции 
называют множество всех точек плоскости с координатами 
, где 
.
Для функции, заданной аналитически, т.е. уравнением , под графиком понимают множество точек 
плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .
График функции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение 
задаёт функцию, графиком которой является парабола.
Функция, заданная аналитически уравнением , определена в точке 
, если возможно вычислить 
. Множество таких точек образует область определения функции.
Пример 6.1. Найдите область определения функции:
а) 
; б) 
; в) 
.
а) Дробь 
определена, если её знаменатель не равен нулю. Область определения данной функции можно найти из условия 
. Таким образом, 
.
б) Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 
. Значит, 
.
в) Логарифм определён, когда
.
Значит, 
.
Основными (или простейшими) элементарными функциями называются:
| постоянная функция |  ;
|
| степенная функция |  ,  ;
|
| показательная функция |  ,  ;
|
| логарифмическая функция |  , ,  ;
|
| тригонометрические функции |  ;  ;
 ;  ;
|
| обратные тригонометрические функции |  ;  ;
 ;  .
|
Функция, аргумент которой в свою очередь есть функция (
, где 
), называется сложной функцией (или композицией функций).
Пример 6.2. Функция — простейшая,
— сложная
(
, 
).
Пример 6.3. Функция 
сложная, которая может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: 
, 
, 
.
|
Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (
) и композиций (т.е. образования сложных функций). Все остальные функции называются неэлементарными.
Пример 6.4. Примером неэлементарной функции может служить функция вида: 
Формула определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.
|
Неявной называют функцию, которая задана уравнением вида 
, неразрешенным относительно функции .
Пример 6.5. Уравнение 
задает неявно функцию 
.
Пусть для любых различных значений 
справедливо, что 
. Тогда для любого 
найдётся только одно значение 
, такое, что .
|
Функция 
, определённая на , называется обратной для функции .
Пример 6.6. Найдите обратную функцию для данной:
а) 
; б) 
; в) 
.
а) Для функции обратной функцией является функция 
, или в стандартной форме 
.
б) Разрешим уравнение относительно : 
. Обратной функцией является функция 
.
в) Для функции обратной функцией является функция 
, или в стандартной форме 
.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
