М1(х1,у1,z1)
a1(m1,n1,p1)
M2(x2,y2,z2)
a2(m2,n2,p2)
а = а1*а2
(а*а1)*(М1М)=0 Задаём вектор нормали как векторное произведение
(а*а2)*(М2М)=0
x-x1 y-y1 z-z1
m1 n1 p1 = 0
n1 p1 p1 m1 m1 n1
n2 p2 p2 m2 m2 n2
x-x2 y-y2 z-z2
m2 n2 p2 = 0
n1 p1 p1 m1 m1 n1
n2 p2 p2 m2 m2 n2
Билет №40. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
(над a1, a2 и r ставить значок вектора)
a1 и a2 – направляющие вектора, m,n,p – их координаты, x,y,z – координаты нормалей к каждой из прямых
Известно, что длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми.
Теорема: Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Следующая теорема дает один из способов нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость.
|
|
(x-x1)/m1 = (y-y1)/n1 = (z-z1)/p1
(x-x2)/m2 = (y-y2)/n2 = (z-z2)/p2
a1 = (m1,n1,p1) a2 = (m2,n2,p2)
r = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
((a1*a2)*r)/|a1*a2| = m1 n1 p1
m2 n2 p2 / (n1p2-n2p1)^2+(m2p1-m1p2)^2+(m1n2-m2n1)^2
x2-x1 y2-y1 z2-z1
На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.
В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).
Билет №41. Найти уравнение перпендикуляра из точки на прямую в пространстве.
m1(x-x0) + n1(y-y0) + p(z-z0) = 0
x = x1+m1*t
y = y1+n1*t
z = z1+p1*t
m1(x1-x0+m1*t) + n1(y1-y0+n1*t) + (z1-z0+p1*t) =>
t = (m1(x0-x1) + n1(y0-y1) + p1(z0-z1))/(m1^2 + n1^2 + p1^2)
Пересечение плоскости с перпендикулярной прямой к плоскости, проходящей через прямую и точку, даст нам искомый перпендикуляр.
Билет №39. Расстояние от точки до прямой.
Определение.
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.